数学三2009考研数学真题解析数三b.doc

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1、三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值。【解析】故则而二元函数存在极小值（16）（本题满分10分）计算不定积分【解析】令得第8页共8页（17）（本题满分10分）计算二重积分，其中.【解析】由得，第8页共8页（18）（本题满分11分）①证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.②证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.【解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：；在闭区间上连续，在开区间内

2、可导，且。根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即（Ⅱ）任取，则函数满足；在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得……又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：故存在，且。（19）（本题满分10分）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形，绕第8页共8页轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的倍，求该曲线方程。【解析】旋转体的体积为曲边梯形的面积为：，则由题可知两边对t求导可得继续求导可得，化简可得，解之得在式中令，则，代入得。所以该曲线方程为：。（20）（本题

3、满分11分）设,①求满足，的所有向量，.②对①中的任意向量,证明,,线性无关。【解析】（Ⅰ）解方程故有一个自由变量，令，由解得，第8页共8页求特解，令，得故，其中为任意常数解方程故有两个自由变量，令，由得求特解故，其中为任意常数（Ⅱ）证明：由于故线性无关.（21）（本题满分11分）设二次型①求二次型的矩阵的所有特征值。②若二次型的规范型为，求的值。第8页共8页【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则1)若，则，，不符题意2)若，即，则，，符合3)若，即，则，，不符题意综上所述，故（22）（

4、本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为①求条件概率密度②求条件概率【解析】（I）由得其边缘密度函数故第8页共8页即（II）而（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。①求.②求二维随机变量的概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球（Ⅱ）X，Y取值范围为0，1，2，故第8页共8页XY01201/41/61/3611/

5、31/9021/900第8页共8页