姜启源数学模型课后答案解析(3版).doc

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1、《数学模型》作业解答第二章(1)（2008年9月16日）1．学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）.按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;（2）.§1中的Q值方法；（3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：12345ABC235117.578.358.75…333166.511183.25…43221614410886.4将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、

2、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑N=10的分配方案，方法一（按比例分配）分配结果为：方法二（Q值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：第一章作业解答第58页共58页第10个席位：计算Q值为最大，第10个席位应给C.分配结果为方法三（d’Hondt方法）此方法的分配结果为：此方法的道理是：记和为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.是每席位代表的人数，取从而得到的中选较大者，可使对所有的尽量接近.再考虑的分配方案，

3、类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：宿舍（1）（2）（3）（1）（2）（3）ABC322333455443555667总计1010101515151．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑到时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得两边积分，得第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是第一章作业解答第58页共58页，用量纲分析方法确定风车获得的功率与、S、的关系.解:设、、S、的关系为，其量纲表达式为:[P]=,[]=,[]=,[]

4、=,这里是基本量纲.量纲矩阵为：A=齐次线性方程组为：它的基本解为由量纲定理得　，，其中是无量纲常数.16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.解：设,,,的关系为,,,=0.其量纲表达式为[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=齐次线性方程组Ay=0，即的基本解为y=(-3,-1,1,1)第一章作业解答第

5、58页共58页由量纲定理得.，其中是无量纲常数.16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.解：设,,,，的关系为.其量纲表达式为[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T0，[]=LM0T-2其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=齐次线性方程组Ay=0即的基本解为得到两个相互独立的无量纲量即.由,得,其中是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即

6、在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.解：设阻尼摆周期,摆长,质量,重力加速度，阻力系数的关系为第一章作业解答第58页共58页其量纲表达式为：，其中，，是基本量纲.量纲矩阵为A=齐次线性方程组的基本解为得到两个相互独立的无量纲量∴,,∴，其中是未定函数.考虑物理模拟的比例模型，设和不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为,；,;,.又当无量纲量时，就有.《数学模型》作业解答第一章作业解答第58页共58页第三章1（2008年10月14日）1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重

7、新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．解：设购买单位重量货物的费用为,其它假设及符号约定同课本．对于不允许缺货模型，每天平均费用为：　　　　　　　　　　　　令，　解得　　　　　　　由，　得与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．对于允许缺货模型，每天平均费用为：　　　　　　　　　　　　令　，　得到驻点：第一章作业解答第58