2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（上海春季卷）.doc

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1、2013年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一.填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。1．函数的定义域是2．方程的解是3．抛物线的准线方程是4．函数的最小正周期是5．已知向量，。若，则实数6．函数的最大值是7．复数（是虚数单位）的模是8．在中，角所对边长分别为，若，则9．在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为D1C1B1A1DCAB10．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）。11．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前项和。12．36的所有正

2、约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分。13．展开式为的行列式是（）（A）(B)(C)(D)14．设为函数的反函数，下列结论正确的是（）(A)(B)(C)(D)15．直线的一个方向向量是（）(A)(B)(C)(D)16．函数的大致图像是（）0xy0xyBA0xyC0xyD17．如果，那么下列不等式成立的是（）(A)(B)(C)(D)18．若复数满足，则在复数平面上

3、对应的点（）(A)关于轴对称(B)关于轴对称(C)关于原点对称(D)关于直线对称19．的二项展开式中的一项是（）（A）（B）（C）（D）20．既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（）（A）（B）（C）（D）21．若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（）（A）（B）（C）（D）22．设全集，下列集合运算结果为的是（）（A）（B）（C）（D）23．已知，“”是“函数的图像恒在轴上方”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件24．已知为平面内两定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为.若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是（）（A）圆（B）椭圆

4、（C）抛物线（D）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。25．（本题满分7分）如图，在正三棱锥中，，异面直线与所成角的大小为，求该三棱柱的体积。B1A1C1ACB26．（本题满分7分）如图，某校有一块形如直角三角形的空地，其中为直角，长米，长米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。ABC27．（本题满分8分）已知数列的前项和为，数列满足，求。28．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分。已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为（1）若为等边三角形，求

5、椭圆的方程;（2）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程。[解]（1）（2）29．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。已知抛物线的焦点为。（1）点满足。当点在抛物线上运动时，求动点的轨迹方程；（2）在轴上是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上？如果存在，求所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由。[解]（1）（2）30．（本题满分13分）本题共有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分9分。在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴上，其横坐标为，且是首项为1、公比为2的等比数列，记，。（1）若，求点的坐标；（2）若点的

6、坐标为，求的最大值及相应的值。P20xyAP1P3P4[解]（1）（2）31．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分。已知真命题：“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”。（1）将函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标；（2）求函数图像对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对

7、它进行修改，使之成为真命题（不必证明）。2013年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案一．（第1至12题）每一题正确的给3分，否则一律得0分。1．2．33．4．5．6．57．8．79．10．11．12．4836二．（第13至24题）每一题正确的给3分，否则一律得0分。13．B14．B15．D16．A17．D18．A19．C20．B21．C22．A23．D24．C三．（第25至31题）25．[解]因为