高考数学复习点拨 运用导数探究曲线的切线问题.doc

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1、运用导数探究曲线的切线问题导数与曲线的切线有缘，因为.厂do)的几何意义是曲线y=Ax)在点(X。，Axo))处的切线斜率，其物理意义通殆指物体运动时的瞬时速度。曲线的切线反映了曲线的变化情况,体现了微积分中重要的思想方法一一以直代曲。因此，利用导数求解曲线的问题，几乎是新课程高考每年必考的内容。在这类问题中，导数所肩负的任务是求切线的斜率，这类问题的核心部分是考查函数的思想方法和解析几何的基本思想方法，真止体现岀函数、导数既是研究的对象又是研究的工具。举例说明。例1己知函数/(x)=x+-(r>0)和点P(l,0),过点P作曲线y=/(兀)

2、的两条切线xPM>PN,切点分别为M、N.(1)设

3、MN

4、=g(r),试求函数g(r)的表达式;(2)是否存在f,使得M、N与人(0,1)三点共线.若存在，求出r的值；若不存在，请说明理由.分析：山题意点P在曲线外，故求切线PM、PN的方程，须设出M、N两点的横坐标，目的是借助导数求直线的斜率；第二问属探索性问题，往往是先假设存在，看是否能求得符合条件的1或导出矛盾。解:(1)设M、N两点的横坐标分别为站、兀2,•・•/.切线PM的方程为：y—(e+丄)=(1—-)(兀—山)，又•・•切线PM过点P(l,0),.•.有0一(再+—)=(1一一

5、)(1一XJ,即昇+2兀—r=0,同理，山切线PN也过点P(l,0),("一也)2[1+(1)2]“兀2)2],由(1)、(2),可得旺，兀2是方程兀2+2—20的两根,MN=kxi-x2)2+(x]+——x2——)2VX2[(兀]+兀2)一4兀[兀2】[1+(1“2把(*)式代入，得MNJ20厂+20f，因此，函数g(f)的表达式为曲)=DOT+20/(r>0).X-)HI-兀2勺一°XxH兀2，••'(兀2+兀1)=X2X•(2)当点M、N与4共线时，kMA=kNA,2X2+/—X-■2化简，得(兀2x)lf(x2+X)X}X2]

6、=0.把(*)式代入,解得吩.存在/,使得点A/、N与A三点共线，且r=-.2点评：本题以函数为载体，综合考查了函数与导数的有关问题。解题的关键是借助导数作为工具，采用设而不求的方法，求出M、N两点的横坐标所满足的方程，进而运用两点间的距离公式求出函数g(/)的表达式=例2(2007年全国卷II理22题)已知函数f(x)=x3-x.(1)求曲线)u/(尢)在点M(/,/(/))处的切线方程；(2)设。>0,如果过点(a,历可作曲线y=/(兀)的三条切线，证明：—a

7、点在于山条件“过点⑺，历可作曲线y=/(x)的三条切线”找到解题的切入点，关键是先把问题转化为方程问题来求解。解:(1)求函数/(x)的导数；广(兀)=3兀2-1.曲线y=/(x)在点M(r,f(t))处的切线方程为:y-/(r)=/Xr)(x-r),即y=(3r-l)x-2r3.(2)如果有一条切线过点(a,b),则存在/,使b=(3t2-)a-2t3.于是，若过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，则方程2t3-3ar+a+b=O有三个相异的实数根.记g(t)=2t3-3ar+a+b,则gr(t)=6t2-6at=6t(t-a).

8、当f变化吋，g(f),g'⑴变化情况如下表:t(-00,0)0(0,a)aa+oo)g‘a)+0—0+g(r)J极大值a+b极小值b-f(a)J山g⑴的单调性，当极大值a+b<0或极小值b-f(a)>0吋，方程g(t)=O&多有•个实数根;当d+b=O时，解方程g(t)=0得r=0,t=——,即方程g(r)=0只有两个相异的实2数根；当b-f(a)=0时,解方程g(r)=0得t=--,t=a9即方程g(t)=0只有两个相异的实数根.综上，如果过(a,b)可作曲线y=/(x)三条切线,即g(r)=0有三个相异的实数根,a+b>0,b-f(a)<

9、0.即一dV/7V/(d).点评：从本题可看出，导数己成为高考命题的一个重要工具，通过导数实现了函数与方程、不等式、曲线的切线等多个知识点的交汇，并渗透着数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法。此题只要把切线问题转化为方程根的个数问题，运用数形结合，很容易发现g(t)=0有三个相异的实数根时，极大值和极小值只能满足a+b>0和b-f(a)<0,但完整的代数推理，应该将前三种情况也要讨论出來才行。例3已知函数f(x)=lnx,g(x)=丄"#+bx,日HO.设函数f(x)的图象C】与函数g(x)2图彖G交于点只Q,过线段因的中点作x轴的垂线分别

10、交0,G于点航M证明G在点财处的切线与G在点河处的切线不平行.分析：山题意，本题应该先设出点只0的坐标，进而表示出点•仏用的横坐标，实质上是要分别写出在点加河处的切