计算物理学蒙特卡罗方法.doc

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1、第八讲蒙特卡罗方法蒙特卡罗（MonteCarlo简称MC）方法又称随机抽样法（RandomSampling）、随机模拟（RandomSimulation）或统计试验法(StatisticTesting）。这个方法的起源可以追溯到十七世纪或更早的年代。MonteCarlo是摩纳哥（Monaco）的一个著名城市，位于地中海之滨，以旅游赌博闻名。VonNeumann等人把计算机随机模拟方法定名为MonteCarlo方法，显然反映了这种方法带有随机的性质。简单地说，MC方法是一种利用随机统计规律，进行计算和模拟的方法。它可用于数值计算，也可用于数字

2、仿真。在数值计算方面，可用于多重积分、线性代数求解、矩阵求逆以及用于方程求解，包括常微分方程、偏微分方程、本征方程、非齐次线性积分方程和非线性方程等。在数字仿真方面，常用于核系统临界条件模拟、反应堆模拟以及实验核物理、高能物理、统计物理、真空、地震、生物物理和信息物理等领域。§8.l蒙特卡罗方法的基础知识8.1.1基本概念为了对MC方法有一点初步的认识，请先看使用MC方法的几个例子。蒲丰投针问题：蒲丰（Buffon-法国著名数学家）在1777年发现随机投针的概率与无理数之间的关系．这个问题是说，若在平面上画有距离为a的平行线束，向平面上投掷

3、长为的针，试求针与一平行线相交的概率。这个问题的解法如下：以M表示落下后针的中点，表M与最近一平行线的距离，表针与此线的交角，见上图。可见，这两式决定平面上一矩形R；为了使针与一平行线（这线必定是与针中点M最近的平行线）相交，充分而且必要条件是这个不等式决定R中一个子集G。因此，我们的问题等价于向R中均匀分布地掷点而求点落于G中的概率P.根据概率的几何意义，得97此式提供了求值的一个方法：可以通过投针事件求得针与平行线相交概率P，求得值：（8.1）若投掷次数为m，针与平行线相交的次数为n，那么即于是，可用投针试验来求无理数的近似值．下表列举

4、了历史上若干学者投针试验计算值的结果：试验者年份投针次数的计算值Wolf185050003.1596Smith185532043.1553Fox189411203.1419Lazzarini190134083.1415929射击问题（打靶游戏）：设表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，表示击中处相应的得分数（环数），分布密度函数表示该运动员的弹着点分布，它反映运动员射击水平。积分（8.2）表示这个运动员的射击成绩。用概率语言说，就是随机变量的数学期望值，记为。现在，假设这个射击运动员射击N次，弹着点依次是环数分别为，则自然地认为N次射击得分的

5、平均值（8.3）这个平均值相当好地代表了这个射击运动员的成绩。换句话说，是积分（8.2）式的一个估计值（或近似值）。这个例子通常称为打靶游戏，它直观地说明了蒙特卡罗方法计算定积分的基本思想。为进一步阐明这个思想，我们再举个例子：计算积分（8.4）直观上，就是在边长为1的正方形里随机投点，当点落在曲线下面，对积分值有“贡献”，否则对积分值无“贡献”。为此，假设向这个边长为1的正方形里随机投点N次，点落在曲线下面n次，则（8.4）式积分值近似为来近似。从上述几个例子可以看到，当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它

6、们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变量的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。97所以用蒙特卡罗方法求解问题时，首先要建立一个随机模型，然后要构造一系列的随机数用以模拟这个过程，最后要作统计性的处理。关于建立随机模型，因问题而异。8.1.2随机变量及其分布函数离散型随机变量可用分布列：（8.5）来描写，它表示取值的概率为（）．即（8.6）分布列描写了离散型随机变量的概率分布．考虑连续型随机变量落在区间内的概率，如果极限（8.7）存在，则函数描写了在点的概率密度，把叫做随机变量的概率分布密

7、度，简称分布密度或密度函数．于是，随机变量落在内的概率可写为（8.8）显然，上式只有当可积时才有意义。对于离散型随机变量，分布函数为阶梯函数（8.10）对于连续型随机变量，分布函数与分布密度满足如下关系：所以分布密度函数和分布函数的性质：①②③对于任意实数：④若在点连续，则有为了描述随机变量的数学特征还需引进数学期望和方差的概念．对于离散型随机变量其数学期望定义为（8.11）97方差定义为（8.12）对连续型随机变量，若已知分布密度，则数学期望是（8.13）方差（8.14）在实际问题中，对于一组N个实验观测数据，相应于某一个随机变量的一个样

8、本，可以用直方图来形象地表示样本中数据分布的规律性．先将随机变量的取值范围划分为若干个区间，将落入每一区间的数据的个数m（称为频数）与随机变量的取值区间之间的关系画成阶跃曲线，即