山东省郓城一中2012届高三数学三轮复习专题2 数列、函数与方程 理.doc

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1、数学专题二数列、函数与方程【考点精要】考点一.等差、等比数列的定义。等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数；一般地，有结论“若数列的前n项和。则数列为等差数的充要条件是c=0”；在等差数列中,是等差数列。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况要予以关注。如是等比数列，则就不一定是等比数列。考点二.数列的递推关系。解决递推数列问题的基本原则就是对数列的递推式进行交换。把递推数列问题转换为几类基本数列进行处理。转化的常用方法有：(1)待定系数法。如可以通过待定系数将其转化为形如的等比数列。(2)取倒数法，如对的基本变换思想是先取倒数，

2、再通过待定系数法变换为。(3)观察变换法，如，可以变换为，转化为等比数列，还有取对数法等．解递推数列问题要注意选取合适的变换递推式的方法，通过转换进行解答，在变换时要小心谨慎、不能出错．考点三.数列与分段函数。通过考查分段函数进而明晰数列n在不同的范围内赋予不同的意义。如：数列中，求。考点四.数列的通项公式以及前n项和。数列的通项公式以及前n项和公式的本身就是一种特殊意义的方程，这种方程的解具有整数性及多元化性。高考中诸多题目均能涉及。如：设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则__________.考点五.函数、导数、方程、数列的综合应用。以函数、

3、导数、方程、数列等知识为载体，考查学生综合运用观察、归纳、猜想、证明等分析问题、解决问题的能力，考查学生对函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等思想的运用。考点六．等差数列前n项和最值的求法：9⑴；⑵利用二次函数的图象与性质。巧点妙拨1．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；掌握数列通项与前n项和之间的关系。2．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；注意掌握一些数列求和的方法，如：(1)分解成特殊数列的和，(2)裂项求和，(3)错位相减法求和等。3．以等差、等比数列的基

4、本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．4.求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。5.数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩法，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。6.数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。【典题对应】一、等差、等比数列的概念与性质例1.（2008·深圳模拟）已知数列的前n项和（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和。解：（1）当；、当，、

5、（2）令当；当综上，二、求数列的通项与求和例2．(2011·山东理20)等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.9第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.命题意图：主要考察分类讨论的思想及数列求和的方法。解析：（Ⅰ）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意。因此所以公式q=3，故（Ⅱ）因为所以所以、当n为偶数时，当n为奇数时，综上所述，名师坐堂：归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能

6、力和逻辑推理能力。三、数列与不等式的联系9例3.（２００９·湖南益阳）已知等比数列的首项为，公比满足且。又已知成等差数列。（1）求数列的通项；（2）令，求证：对于任意，都有。命题意图：主要考察数列与不等式的结合。解析：（1）解：∵∴∴∵且∴∴。（2）证明：∵，∴名师坐堂：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。四、数列与函数、概率等的联系例4.(2008·福建理)已知函数.（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上

7、，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上；（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.命题意图：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.（Ⅰ）证明：因为所以′(x)=x2+2x,由点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，又所以所以,又因为′(n)=n2+2n,所以,故点也在函数y=f′(x)的图象上.（Ⅱ）解:,9由得.当x变化时,﹑的变化情况如下表:注意到,从而①当,此时无极小值；②当的极小值为,此时无极大值；③当既无极大值又无极小值.名师坐堂:数列是特殊的函数，而

8、函数又是高中数学的一条主线，所以数列这