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1、2.5.1平面向量应用举例临沂一中高一数学组1.平面几何中的向量方法向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。研究对象：与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹角等几何问题充分利用向量这个工具来解决例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ABCD猜想：1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？ABCD判断：矩形中，对角线长度与两条邻边长度之间
2、是否有关系如下：ABCD探索：平行四边形中，以上关系是否依然成立？发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：用基底表示向量运算翻译几何结果例2.如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFR
3、T猜想：AR=RT=TC解：设则因为所以又因为共线，所以设ABCDEFRT由于与共线，所以设不共线，故AT=RT=TCABCDEFRT练习：证明：三角形的三条高交于一点问题：可否用平面向量的坐标形式解决?FBDCEOA情景1：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力?情景2:一个人静止地垂挂在单杠上时,手臂的拉力与手臂握杠的的姿势有什么关系?创设情景夹角越小越省力两臂的夹角越小,手臂就越省力例3.在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽
4、象为数学模型如下：用向量F1,F2表示两个提力,它们的合向量为F，物体的重力用向量G来表示，F1，F2的夹角为θ，如右图所示，只要分清F，G和θ三者的关系，就得到了问题得数学解释！解：不妨设,由向量的平行四边形法则,力的平衡以及直角三角形的知识,通过上面的式子，知当θ由0º到180º逐渐变大时，由0º到90º逐渐变大，的值由大逐渐变小.可以知道：即之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力！由小逐渐变大.（1）θ为何值时，最小，最小值是多少？（2）能等于吗？为什么？答：在上式中，当θ=0º时，最大，最小且等于答：在上式中，当即θ=120º时，探究一生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体.绳
5、子的最大拉力为,物体重量为,分析绳子受到的拉力大小F1与两绳子间的夹角θ的关系？探究二探究三(4)如果绳子的最大承受力为θ在什么范围内,绳子才不会断？【1】如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是________.120º10N练一练例4.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸,已知船的速度,水流速度问行驶航程最短时,所用时间是多少？(精确到0.1min)AB答：行驶的航程最短时，所用的时间是3.1min。（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸
6、的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短。探究一答：行驶的时间最短时，所用的时间是3min解:使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度,方向指向河对岸),小船过河所用时间才最短.（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？探究一MOAB练习1.平面上三个力作用于一点且处于平衡状态,的夹角为1200,求的大小。练习2.已知两恒力作用于同一质点,使之由点A(20,15)移到点B(7,0).求
7、;(1)分别对质点所做的功;(2)的合力对质点所做的功.设对质点所做的功分别为合力对质点所做的功课堂小结（1）问题的转化,即把物理问题转化为数学问题.（2）模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型，解决问题.（3）问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.用基底表示向量运算翻译几何结果1.向量在几何中的应用（三部曲）：2.向量在物理中的应用：作业：第一层：课本113页A组第1，4题；第二层：添加A组第2题。临沂一中谢谢大家!
