2016年全国高中数学联赛(B卷)一试试题及答案

2016年全国高中数学联赛(B卷)一试试题及答案

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1、2016年全国高中数学联赛(B卷)一试一、选择题:(每小题8分,共64分)1.等比数列的各项均为正数,且则的值为.2.设,则平面点集的面积为.3.已知复数满足(表示的共轭复数),则的所有可能值的积为.4.已知均为定义在上的函数,的图像关于直线对称,的图像关于点中心对称,且,则的值为.5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子中,恰有两个球放在同一盒子的概率为.6.在平面直角坐标系中,圆关于直线对称的圆为则直线的方程为.7.已知正四棱锥-的高等于长度的一半,是侧棱的中点,是侧棱上点,满足,则异面直线所成角的余弦值为.8.设正整数满足,

2、且.这样的的个数为.这里,其中表示不超过的最大整数.二、解答题:(共3小题,共56分)9.(16分)已知是各项均为正数的等比数列,且是方程的两个不同的解,求的值.1710.(20分)在中,已知(1)将的长分别记为,证明:;(2)求的最小值.1711.(20分)在平面直角坐标系中,双曲线的方程为.求符合以下要求的所有大于的实数:过点任意作两条互相垂直的直线与,若与双曲线交于两点,与交于两点,则总有成立.加试一、(40分)非负实数和实数满足:(1);(2)是奇数.求的最小值.17二、(40分)设是正整数,且是奇数.已知的不超过的正约数的个

3、数为奇数,证明:有一个约数,满足17三、(50分)如图所示,是平行四边形,是的重心,点在直线上,使得证明:平分四、(50分)设是任意一个11元实数集合.令集合求的元素个数的最小值.172016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案一试一、选择题:(每小题8分,共64分)1.等比数列的各项均为正数,且则的值为.答案:6.解:由于且故17另解:设等比数列的公比为,则又因而,从而2.设,则平面点集的面积为.答案:7.解:点集如图中阴影部分所示,其面积为3.已知复数满足(表示的共轭复数),则的所有可能值的积为.答案:3.解:设由知,比较虚、实部

4、得又由知,从而有即,进而于是,满足条件的复数的积为4.已知均为定义在上的函数,的图像关于直线对称,17的图像关于点中心对称,且,则的值为.答案:2016.解:由条件知①②由图像的对称性,可得结合①知,③由②、③解得从而另解:因为,①所以②因为的图像关于直线对称,所以③又因为的图像关于点中心对称,所以函数是奇函数,,,从而④将③、④代入①,再移项,得⑤在⑤式中令,得17⑥由②、⑥解得于是5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子中,恰有两个球放在同一盒子的概率为.解:样本空间中有个元素.而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为过所求的

5、概率为6.在平面直角坐标系中,圆关于直线对称的圆为则直线的方程为.答案:解:的标准方程分别为由于两圆关于直线对称,所以它们的半径相等.因此解得故的圆心分别是直线就是线段的垂直平分线,它通过的中点,由此可得直线的方程是7.已知正四棱锥-的高等于长度的一半,是侧棱的中点,是侧棱上点,满足,则异面直线所成角的余弦值为.解:如图,以底面的中心为坐标原点,的方向为轴的正向,17建立空间直角坐标系.不妨设此时高从而由条件知,因此设异面直线所成的角为,则8.设正整数满足,且.这样的的个数为.这里,其中表示不超过的最大整数.解:由于对任意整数,有等号

6、成立的充分必要条件是,结合知,满足条件的所有正整数为共有个.17另解:首先注意到,若为正整数,则对任意整数,若,则这是因为,当时,,这里是一个整数,故因此,当整数满足时,容易验证,当正整数满足时,只有当时,等式才成立.而,故当时,满足正整数的个数为二、解答题:(共3小题,共56分)9.(16分)已知是各项均为正数的等比数列,且是方程的两个不同的解,求的值.解对,有即因此,是一元二次方程的两个不同实根,从而即由等比数列的性质知,10.(20分)在中,已知(1)将的长分别记为,证明:;17(2)求的最小值.解(1)由数量积的定义及余弦定理

7、知,同理得,故已知条件化为即(2)由余弦定理及基本不等式,得等号成立当且仅当因此的最小值为11.(20分)在平面直角坐标系中,双曲线的方程为.求符合以下要求的所有大于的实数:过点任意作两条互相垂直的直线与,若与双曲线交于两点,与交于两点,则总有成立.解过点作两条互相垂直的直线与易知,与交于点(注意这里),与交于点由条件知,解得这意味着符合条件的只可能为下面验证符合条件.事实上,当中有某条直线斜率不存在时,则可设,就是前面所讨论的的情况,这时有若的斜率都存在,不妨设17注意这里(否则将与的渐近线平行,从而与只有一个交点).联立与的方程知

8、,即这是一个二次方程式,其判别式为.故与有两个不同的交点.同样,与也有两个不同的交点由弦长公式知,用代替,同理可得于是综上所述,为符合条件的值.加试一、(40分)非负实数和实数满足:(1);(2)是奇数.求的最小值.解:

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