关系的性质-集合与关系-离散数学.ppt

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1、关系的性质1本节将研究关系的一些性质，它们在关系的研究中起着重要的作用。这是本章最重要的一节。本节中所讨论的关系都是集合A上的关系。本节要点：五个性质：自反性、反自反性--自己和自己的关系对称性、反对称性–两个元素之间的关系传递性--三个元素之间的关系相关证明2定义：设R是集合A上的关系，若对于任意x∈A都有∈R(xRx)，则称R是A中的自反关系。即R是A中自反的(x)(xA∈R)该定义表明在自反关系R中，除其他序偶外，必须包括有全部由每个x∈A所组成的相同元素的序偶。一、自反性非（不是）

2、自反的(x)(xA∧R)例如：设X={a,b,c},R1={,,,}R2={,,}例如：相等关系(=)，小于等于关系()，包含关系()等是自反关系。是自反关系。不是自反关系。3定义：设R是集合A上的关系，若对于任意x∈A都有∈R(xRx)，则称R是A中的自反关系。即R是A中自反的(x)(xA∈R)从关系矩阵看自反性：从关系有向图看自反性：1？？？1？？？1具有自反性的关系的关系矩阵和关系图的特点。1

3、。2。3主对角线都为1。每个结点都有环。思考：具有自反性的关系与恒等关系有何区别于联系？4定义：设R是集合A上的关系，若对于任意的x∈A都有R，则称R为A中的反自反关系。即R是A中反自反的(x)(xAR)该定义表明了，一个反自反的关系不应包括有任何相同元素的序偶。二、反自反性非（不是）反自反的(x)(xA∧R)例如：设X={a,b,c},R1={,}R2=={,,}不相等关系()，小于关系()，真包含关系()，父

4、子关系是反自反关系。是反自反关系。不是反自反关系5定义：设R是集合A上的关系，若对于任意的x∈A都有R，则称R为A中的反自反关系。即R是A中反自反的(x)(xAR)从关系矩阵看反自反性：从关系有向图看反自反性：0？？？0？？？0具有反自反性的关系的关系矩阵和关系图的特点1。。2。3主对角线都为0。每个结点都无环。6R1、R3、R4是自反的，R2、R5、R8均是反自反关系。注意：任何一个不是自反的关系，未必是反自反的，任何一个不是反自反的关系，未必是自反的，如R6、R7非自反，也非反自反

5、。存在既不是自反的也不是反自反的关系。例1。2。。1。2。。1。2。。1。2。。33331。2。。1。2。。1。2。。1。2。。3333R2R1R3R4R5R6R7R8自反反自反反自反反自反自反自反非自反非反自反非自反非反自反7定义：R是集合A上的关系，若对任何x,y∈A，若有R，必有R，则称R为A中的对称关系。R是A上对称的(x)(y)((xA∧yA∧R)R)在有对称性的关系中，若有序偶，必有序偶。例如：设集合A={1,2,3}有下列关

6、系：1）R1={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}2）R2={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}三、对称性非（不是）对称的(x)(y)(xA∧yA∧R∧R)例如：朋友关系，同学关系，同乡关系，不相等关系()是对称关系，相等关系(=)？？？。是对称关系不是对称关系8定义：R是集合A上的关系，若对任何x,y∈A，若有R，必有R，则称R为A中的对称关系。R是A上对称的(x)(y)((xA∧y

7、A∧R)R)从关系矩阵看对称性：从关系有向图看对称性：？101？101？对称性的关系矩阵和关系图的特点以主对角线为对称的矩阵。在两个不同的结点之间，若有边的话，则有方向相反的两条边。1。2。。3是否有环对对称性无影响。9定义:设R为集合A上的关系，若对任何x,y∈A，有R和R，就有x=y，则称R为A中的反对称关系。R是A上反对称的(x)(y)((xA∧yA∧R∧R)x=y)(x)(y)((xA∧yA∧R∧xy

8、)R)四、反对称性讨论定义：（1）前件R∧R为“T”，则x=y为“T”，R是对称的。（2）前件为R∧R为“F”，有三种情况，后件不论是真还是假，命题为“T”，即R是对称的。10定义:设R为集合A上的关系，若对任何x,y∈A，有R和R，就有x=y，则称R为A中的