（课堂设计）2020高中数学 3.1.1 两角差的余弦公式学案 新人教A版必修4（通用）.doc

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1、§3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1　两角差的余弦公式自主学习知识梳理1.如图所示，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，则A点坐标是________________，B点坐标是______________，向量＝______________，向量＝______________.·＝______________.另一方面·＝

2、

3、·

4、

5、·cos∠AOB＝____________.2．两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝________________________________.自主探究灵

6、活拆分角是三角恒等变换的一种常用方法．例如α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α等．请你利用拆分角方法，结合公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ计算cos15°的值．对点讲练知识点一　给角求值例1　求下列各式的值．(1)sin195°＋cos105°；(2)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)．回顾归纳　(1)公式C(α－β)是三角恒等式，既可以正用，也可以逆用；(2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和

7、与差的关系问题．然后利用公式化简求值．变式训练1　求下列各式的值．(1)cos；(2)cos(x＋20°)cos(x－40°)＋cos(x－70°)sin(x－40°)．知识点二　给值求值例2　设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.回顾归纳　三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．例如：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．变式训练2　已知α，β均为锐角，sinα＝，cos(α－β)＝，求cosβ的

8、值．知识点三　给值求角型例3　已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，求β的值．回顾归纳　(1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．如本题求β的余弦值比求β的正弦值要好．变式训练3　已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．1．公式C(α－β)是三角恒等式，既可正用，也可逆用，要注意公式的结构名称、特征、灵活变换角或名称．2．公式C(α－β)中的角α

9、、β为任意角，既可以代表具体的角，也可以代表代数式．可以把α、β视为一个“代号”，将公式标记作：cos(▭－△)＝cos▭cos△＋sin▭sin△.课时作业一、选择题1．化简cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα得(　　)A．cosαB．cosβC．cos(2α＋β)D．sin(2α＋β)2．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是(　　)A．α＝π，β＝πB．α＝π，β＝πC．α＝，β＝D．α＝，β＝3．若cos(α－β)＝，cos2α＝，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为(　　)A.B.C.D.4．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角

10、，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是(　　)A．－B.C.D.5．若sinα＋sinβ＝1－，cosα＋cosβ＝，则cos(α－β)的值为(　　)A.B．－C.D．1二、填空题6．cos47°cos77°－sin47°cos167°＝________.7．若cos(α－β)＝，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________.三、解答题8．已知tanα＝4，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cosβ的值．9．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．第三章　三角恒等变换§3.1　两角和与

11、差的正弦、余弦和正切公式3．1.1　两角差的余弦公式答案知识梳理1．(cosα，sinα)　(cosβ，sinβ)　(cosα，sinα)　(cosβ，sinβ)　cosαcosβ＋sinαsinβ　cos(α－β)2．cosαcosβ＋sinαsinβ自主探究解　方法一　15°＝60°－45°cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝×＋×＝.方法二　15°＝45°－30°，cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°c