北京市东城景山学校2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）（通用）.doc

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1、北京景山学校2020学年度第二学期高二年级数学期中考试试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题）1．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】复数，其对应的点是，位于第四象限．故选．2．若，则（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，所以．故选．3．火车上有名乘客，沿途有个车站，乘客下车的可能方式有（）．A．种B．种C．种D．种【答案】A【解析】根据题意，沿途有个车站，则每个乘客有种下车的方式，要完成这件事可分步，即名

2、乘客分别选择一个车站下车，由分步计数原理可知，乘客下车的方式有种．故选．4．设，则（）．A．B．C．D．不存在【答案】C【解析】由已知可得．故选．5．设，则的值为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】在中，令，可得，再令可得，所以．故选．6．如图，用种不同颜色给图中标有、、、各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻两部分涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（）．A．种B．种C．种D．种【答案】C【解析】先给部分涂色，有种涂色方法，再给部分涂色，有种涂色方法，再给部分涂色，若部分颜色与部分相同，则部分只

3、有种涂色方法，再给部分涂色，有种涂色方法；若部分颜色与部分不相同，则部分有种涂色方法，再给部分涂色，有种涂色方法．所以不同的涂色方法一共有种．故选．7．设定义在上的函数，其导函数为，若恒成立，则（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，，由，得，即，令，，则，∴函数在上单调递增，∴，即，∴，项，，故项错误；项，，故项正确；项，，故项错误；项，，故项错误．故选．8．已知函数的图象如图所示（其中是定义域为的函数的导函数），则以下说法错误的是（）．A．B．当时，函数取得极大值C．方程与均有三个实数

4、根D．当时，函数取得极小值【答案】C【解析】项，由图象可知或时，成立，故正确；项，当时，，此时，当时，，此时，所以当时，函数取得极大值，故正确；项，由于函数的极大值与极小值的正负情况不确定，不能确定根的个数，故错误；项，当时，，此时，当时，，此时，所以当时，函数取得极小值，故正确．故选．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题）9．已知为虚数单位，计算__________．【答案】【解析】复数．10．计算：__________．【答案】【解析】∵，∴．11．人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有__

5、________种．【答案】【解析】首先在排头或排尾中选择一个位置排甲，然后其余人全排列，故不同的站法共有种．12．曲线和曲线围成的图形的面积是__________．【答案】【解析】依题意，由得曲线交点坐标为，，由定积分的几何意义可知，曲线和曲线围成的图形的面积．13．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则__________．【答案】【解析】由题意可知，，故．14．设函数，，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】设，，则由题意可知，存在唯一的整数，使函数

6、的图象在函数的图象的下方．∵，∴当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴的最小值为，又，函数过定点，∴，或，解得或，故实数的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知复数，，为虚数单位，求满足下列条件的的值．（）是实数．（）是纯虚数．【答案】见解析．【解析】解：（），若是实数，则，∴或．（）若是纯虚数，则且，解得．16．已知函数，．（）求函数的图象在点处的切线方程．（）求函数的单调递增区间．【答案】见解析．【解析】解：（），得，∴，，∴函数在处

7、的切线方程为．（）∵，令，得，令，得，又的定义域是，∴函数的单调增区间为．17．用，，，，，这六个数字．（）能组成多少个无重复数字的四位偶数．（）能组成多少个比大的四位数．【答案】见解析．【解析】解：（）符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：在个位时，有个．第二类：在个位时，首位从，，，中选定个，有种可能，十位和百位从余下的数字中选取有种可能，于是有个．第三类，在个位时，同第二类，也有个．由分类加法计数原理可知，四位偶数共有：个．（）符合要求的比大的四位数可分为三类：第一类：形如，，，，这样的数共

8、个．第二类：形如，，共有个．第三类：形如，，共个．由分类加法计数原理可知，比大的四位数共有个．18．已知．（）若，求的值．（）求的值（用表示）．【答案】见解析．【解析】解：（）展开式的通项公式为：，令，得，∴，解得．（）∵，∴，即，∴．19．已知函数．（）求函数的极值点．（）设函数，其中，求函数在上的最小值．【答案】见解析．【解析】解：（）函数的定义域为，，∴令，得，令，得，∴函数在单调递减，在单调递增，∴是函数的极小值点，极大值点不存在．（）由题意得，∴，令得．①当时，即时，在上