探求正四面体外接球、内切球半径求法.doc

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1、探求正四面体外接球、内切球半径正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合.已知正四面体棱长为，设外接球半径为，内切球半径为，球心为，则正四面体的高是，外接球半径是即；内切球半径是即.外接球半径是内切球半径的3倍.下面从不同角度、用不同方法进行探求：方法一：（勾股定理）作高，设为球心，则连结在中，，即，方法二：（三角正切倍角公式）作高，设为球心，则连结在中，在中，5方法三：（分割等体积）作高，设为球心，则连结得到四个以为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面

2、，高是内切球的半径，设正四面体每个面的面积为，则即方法四：（侧棱、高相似或三角）作高，设为球心，则设是的中点，连结，又，，，5即或：设，则在中，，在中，，以下同上.方法五：（斜高、高相似或三角）作高，设为球心，则设为中点，连结，作于点，则是中心，是的三等分点，且，即，或：设，则5在中，，在中，，以下同上.方法六：（斜高、侧棱相似或三角）作高，设为球心，则设为中点，连结，延长交于，则是的三等分点，且平面则即=，，又或：在中，在中，，即，5又方法七：（构造正方体）正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正四面体的外接球也

3、是正方体的外接球，正四面体的棱长为，则正方体的棱长为正方体的体对角线等于外接球直径，有，方法八：（相交弦定理）设外接球球心为，半径为，过点作球的直径，交底面于，则为的外心，求得由相交弦定理得解得以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的5