丘维声高等代数.ppt

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1、6矩阵的可对角化1234注意:1.只有方阵才有特征值与特征向量;2.特征向量必须是非零向量，而特征值不一定非零。5综上，可得矩阵的特征值与特征向量的求法：（1)写出矩阵的特征多项式，它的全部根就是矩阵的全部特征值;(2)设是矩阵的全部互异的特征值。将的每个互异的特征值分别代入特征方程组，得6分别求出它们的基础解系这就是特征值所对应的线性无关的特征向量。7非零线性组合是的属于特征值的全部特征向量，其中为任意常数。8910如果A是实数域上的矩阵，则A可能没有特征值，从而没有特征向量。如果将A看成复数域上的矩阵，A一定有特征值，其特

2、征向量可能是复向量。11特征值和特征向量的性质设，易见，它的特征多项式是关于的次多项式，不妨设之为125.1.513考虑上式左端行列式的展开式，它除了这一项含有个形如的因式外，其余各项最多含有个这样的因式,比较（5.1.5)两端的系数，得14在式（5.1.5)中，令，得另外,根据多项式理论，次多项式在复数域上有个根，不妨设，又由于的首项系数，于是有15比较和，得161718若都是矩阵的属于特征值的特征向量，则其非线性组合并可证明，的属于特征值的全部特征向量，再添加零向量，便可以组成一个子空间，称之为的属于特征值的特征子空间，记

3、为。不难看出，正是特征方程组的解空间。也是A的属于特征值的特征向量。它的维数是多少?1920证明则即类推之，有21把上列各式合写成矩阵形式，得22注意１.　属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.　属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.　矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．2324是的特征值（这里是关于的多项式函数）;若是矩阵的特征值，是的属于特征值的特征向量，则有是矩阵的特征值（其中为正整数）；是矩阵的特征值（其中为

4、任意常数）；25当可逆时，是的特征值；并且仍是矩阵的分别对应于特征值的特征向量；26若~，则.由~可知，存在可逆矩阵，使得于是276,若~，则矩阵，有相同的特征值。2829矩阵可对角化的条件30313233n阶方阵是否可以对角化，就转化为阶方阵是否有个线性无关的特征向量的问题。34如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论定理ｎ阶方阵Ａ的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。35363738二相似对角化的方法求出的全部互异的特征值前面讨论了阶矩阵可相似对角化的条件，下面给出求相似对角阵及变换矩阵的方法和步骤：对每个特征

5、值,求特征矩阵的秩，并判断的特征维数之和是否为n.39的一组基础解系当可以对角化时，对每个特征值,求方程组令则有40例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解41解之得基础解系()得方程组代入将,02121=-==IAlll42求得基础解系(),0,73=--=xIAll由对43解之得基础解系故不能化为对角矩阵.4445作业P181,2,3,P182,8,9.46