资源描述：
《复变函数4.1复级数的基本性质(讲义).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第一节复级数的基本性质4.1.1复数项级数4.1.2复函数项级数4.1.3解析函数项级数4.1.4小结与思考4.1.0复数列的极限1.定义记作2.复数列收敛的条件那末对于任意给定的就能找到一个正数N,证从而有所以同理反之,如果从而有该定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.[证毕]定理：数列收敛的Cauchy准则课堂练习:下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.1.定义表达式称为复数项级数.（4.1）最前面n项的和记为:称为级数的部分和.部分和若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限,4.1.1复数项级数即若收敛与发散（敛散性）说明:与实数
2、项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为(4.1)的和,写成否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有限极限,则称级数(4.1)为发散.定理4.1设n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:分别收敛于a及b.证则sn=An+iBn(n=1,2,…),由第一章习题(一)17limsn=a+ib的充要条件为:limAn=a及limBn=bn∞n∞n∞2.复数项级数收敛的条件实数项级数说明该定理的作用是将复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(
3、定理4.1)分别收敛于a及b.解所以原级数发散.课堂练习所以原级数收敛.定理4.2(Cauchy准则)复级数(4.1)收敛的充要条件为:对任给ε>0,存在正整数N(ε),当n>N且p为任何正整数时
4、n+1+n+2+…+n+p
5、<ε.推论2收敛级数的各项必是有界的.推论1收敛级数的通项必趋于零:(事实上，取p=1,则必有
6、an+1
7、<ε)，常用其等价命题：不存在，则级数(4.1)发散推论3若级数(4.1)中略去有限个项,则所得级数与原级数同为收敛或同为发散.不满足必要条件,所以原级数发散.启示:判别级数的敛散性时,可先考察?级数发散;应进一步判断.定理4.3复级数(4.
8、1)收敛的一个充分条件为级数收敛.证由于
9、an+1+an+2+…+an+p
10、≤
11、an+1
12、+
13、an+2
14、+…+
15、an+p
16、,若收敛,则由定理4.2,必收敛定义4.2若级数收敛,则原级数称为绝对收敛;非绝对收敛的级数,称为条件收敛.级数的各项既为非负实数,故它是否收敛,可依正向级数的理论来判断.3.绝对收敛与条件收敛定理4.4(1)一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和.(2)两个绝对收敛的复级数s=a1+a2+…+an+…s/=a1/+a2/+…+an/+…可按右图所示的对角线法（Cauchy乘积）得出乘积级数a1a1＇+(a1a2＇+
17、a2a1＇)+…+(a1an＇+a2an-1＇+…+ana1＇)+…它收敛于ss＇.说明所以下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.而解例1解所以数列发散.例2解级数满足必要条件,但例3故原级数收敛,且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比值判别法知:解故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛.例4解1.定义4.3设复变函数项级数f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+…(4.2)的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数f(z),对于E上的每一点z,级数4.2均收敛于f(z),则称f(z)为级数(4.2)的和函数,记为:任给ε>0,以及给定的z∈E,存在正整数N=N(
18、ε,z),使当n>N时,有
19、f(z)-sn(z)
20、<ε,式中:4.1.2复函数项级数用ε—N的说法来描述这件事就是:上述的正整数N=N(ε,z),一般来说,不但依赖于ε,而且依赖于z∈E.重要的一种情形是N=N(ε)不依赖于z∈E,这就是:定义4.4对于级数(4.2),如果在点集E上有一个函数f(z),使对任给的ε>0,存在正整数N=N(z),当n>N时,对一切的z∈E均有
21、f(z)-sn(z)
22、<ε,则称级数(4.2)在E上一致收敛于f(z).记作:定理4.5(柯西一致收敛准则)级数(4.2)在点在点集E上一致收敛于某函数的充要条件是:任给的ε>0,存在正整数N=N(ε),
23、使当n>N时,对于一切z∈E,均有
24、fn+1(z)+…+fn+p(z)
25、<ε(p=1,2,…).Weierstrass优级数准则:如果整数列Mn(n=1,2,…),使对一切z∈E,有
26、fn(z)
27、≤Mn(n=1,2,…),而且正项级数收敛,则复函数项级数在点集E上绝对收敛且一致收敛:这样的正向级数称为函数项级数的优级数.定理4.6设级数的各项在点集E上连续,并且一致收敛于f(z),则和数也在E上连续.定理4.7设级数的各项在曲线C上连续,并且在C上一致收敛于f(z),则沿C可以逐项积分:定义4.5设函数
