立体几何公理、定理一览表(新).doc

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1、立体几何公理、定理一览表▲六个公理1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个面内。(P4)2.如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。(P5)3.经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。(P5)推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。(P10)▲射影定理：1.从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）垂线段最短；（2）斜线段长相等射影长相等。(P

2、24)2.如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。(P26/eg.3)和(P29/11)*▲唯一性定理：1.过一点有且只有一和一垂直。(P20)2.过外一点有且只有一和已知平行。(P33/5)*▲等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。(P10)推论如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。(P11)▲最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。(P25)▲三余弦定理：cos=co

3、scos（其中、、分别是斜线与射影（即线与面）、射影与面内线、斜线与面内线所成的角)关系判定方法关系判定方法线在面内1.公理12.过平面内一点,且平行于与此平面平行的一条直线的直线在此平面内。3.过平面内一点,且垂直于与此平面垂直的一条直线的直线在此平面内。4.如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。(P37/e.g2)三点(线)共线(点)公理2（即三点（或两线的交点）在两面的交线上）异面1.反证法2.过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。(P14/eg.3)线线垂直1.一条

4、直线垂直于两条平行直线中的一条，必垂直于另一条。2.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都垂直。(P20)3.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）(P26)4.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（三垂线逆定理）5.三个平面两两互相垂直，则它们的三条交线也两两互相垂直。(P39/10)*线线平行1.公理42.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。(P17)3.如果两条直线同

5、垂直于一个平面，那么这两条直线平行。(P23)4.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。(P31)线面平行1.如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。(P17)2.两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。(P31)3.如果一个平面和不在这个平面内的直线都垂直于另一个平面，那么已知平面和这条直线平行。(P39/11)*4.如果一条直线上的两点在一个平面的同侧，并且到这个平面的距离相等，那么这条直线和平面平行。(P49)*线面垂直1.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直

6、线垂直于这个平面。(P21)2.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。(P21/eg.1)3.一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。(P31/eg.2)4.如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。(P37)5.同时垂直于一个平面的两个平面的交线也垂直于这个平面。(P39/9)*面面平行1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。(P30)2.垂直于同一条直线的两个平面平行。(P30/eg.1)3.平行于同一平面的两个平面平行。面面垂直1.

7、如果一个平面经过(或平行)另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。(P37)(或(P38/8)*)2.如果三条共点的直线两两互相垂直，则它们中每两条确定的三个平面也两两互相垂直。(P39/10)*用“平移法”作异面直线所成的角，关键是选择适当的点，一般选在一对异面直线的一条线段的端点或中点；用“射影法”作斜线与平面所成的角，关键是垂足位置的确定；作二面角的平面角有三种方法，一是“定义法”，二是“垂线法”，三是作棱的“垂面法”。求距离，找垂足或转换（利用平行间距离相等或三棱锥的顶点转换）；即：遇到求“距离、线面所成角、面面所成角”等，都要设法找到图

8、中存在或隐藏的“线面垂直、面面垂直”关系。且要一作（找）、二证（说理）、三计算（平面分离）