2017-2018版高中数学 第三单元 导数及其应用 3.3.3 导数的实际应用教学案 新人教B版选修1-1.doc

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1、3．3.3　导数的实际应用学习目标　1.能利用导数解决实际问题.2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为________．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的______________过程．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　类型一　几何中的最值问题命题角度1　平面几何中的最值问题例1　某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心

2、为O，半径为100m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．(1)将S表示为θ的函数；(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．　反思与感悟　平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．跟踪训练1　如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值．　命

3、题角度2　立体几何中的最值问题例2　请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．　　反思与感悟　(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题．(2)解决此类问题

4、必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．跟踪训练2　周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.类型二　实际生活中的最值问题命题角度1　利润最大问题例3　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3

5、，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．　　反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3　某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销

6、售额为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)　　命题角度2　费用(用料)最省问题例4　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到

7、最小，并求最小值．反思与感悟　(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练4　现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(