二次曲面分类简介.ppt

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1、补充二次曲面的一般理论空间直角坐标变换二次曲面方程的化简应用不变量判断二次曲面的类型二次曲面的仿射特征和度量特征空间直角坐标变换空间仿射坐标变换公式向量的坐标变换公式:其中(c11,c21,c31),(c12,c22,c32),(c13,c23,c33)分别为新坐标向量e1,e2,e3在原坐标系I中的坐标.I到I的过渡矩阵点的坐标变换公式:其中(c11,c21,c31),(c12,c22,c32),(c13,c23,c33)分别为新坐标向量e1,e2,e3在原坐标系I中的坐标,(d1,d2,d3)为新原点O在原坐标系I中的坐标

2、.空间直角坐标变换过渡矩阵的性质1.过渡矩阵是可逆矩阵.2.设有三个仿射坐标系I,I,I,I到I的过渡矩阵为C,I到I的过渡矩阵为D,则I到I的过渡矩阵为CD.3.若I到I的过渡矩阵为C,则I到I的过渡矩阵为C1.4.两个直角坐标系之间的过渡矩阵是正交矩阵.空间直角坐标变换空间直角坐标(点)变换移轴:或其中(d1,d2,d3)为新原点O在原坐标系I中的坐标.空间直角坐标变换转轴:设新坐标向量e1,e2,e3与原坐标向量e1,e2,e3的交角如下表所示:原系x轴(e1)z轴(e3)y轴(e2)新系交角x轴(e1)y轴(e

3、2)z轴(e3)111222333空间直角坐标变换则转轴公式为:或空间直角坐标变换或一般的空间直角坐标(点)变换公式:空间直角坐标变换空间一般坐标变换公式,还可以由新坐标系的三个坐标面来确定.设有两两互相垂直的三个平面:1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0,3:A3x+B3y+C3z+D3=0,其中AiAj+BiBj+CiCj=0,(i,j=1,2,3,ij).空间直角坐标变换若取1为yOz面,2为xOz面,3为xOy面,则原系到新系的坐标变换公式为:其中正

4、负号的选取要使得坐标变换为右手直角坐标变换.空间直角坐标变换二次曲面的类型二次曲面的一般方程空间中二次曲面的一般方程为a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz其中a11,a22,a33,a12,a13,a23不全为零.+2b1x+2b2y+2b3z+c=0()吕林根《解析几何》P275.定理6.6.1适当选取坐标系,二次曲面的方程总可化为下列五个简化方程之一:(I)a11x2+a22y2+a33z2+c=0,a11a22a330;(II)a11x2+a22y2+2b3z=0,a11a22b30;(III)a1

5、1x2+a22y2+c=0,a11a220;(IV)a11x2+2b2y=0,a11b20;(V)a11x2+c=0,a110.二次曲面的类型二次曲面的类型(一)椭球面[1]椭球面:[2]点:吕林根《解析几何》P278.定理6.6.2适当选取坐标系,二次曲面的方程总可化为下列十七个标准方程之一:[3]虚椭球面:二次曲面的类型(二)双曲面[4]单叶双曲面:[5]双叶双曲面:(四)抛物面[7]椭圆抛物面:(三)二次锥面[6]二次锥面:二次曲面的类型(五)二次柱面[9]椭圆柱面:[10]虚椭圆柱面:[11]一条直线:[8]双曲抛物面:二次曲面的类型[

6、12]双曲柱面:[13]一对相交平面:[14]抛物柱面:[17]一张平面:[15]一对平行平面:[16]一对平行平面:二次曲面的类型用不变量判断二次曲面类型二次曲面的表示空间中二次曲面的一般方程为a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz其中a11,a22,a33,a12,a13,a23不全为零.+2b1x+2b2y+2b3z+c=0记F(x,y,z)=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c()则用不变量判断二次曲面类型(x,y,z)=a11

7、x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz则用不变量判断二次曲面类型记F1(x,y,z)=a11x+a12y+a13z+b1F2(x,y,z)=a12x+a22y+a23z+b2F3(x,y,z)=a13x+a23y+a33z+b3F4(x,y,z)=b1x+b2y+b3z+c则F(x,y,z)=xF1(x,y,z)+yF2(x,y,z)+zF3(x,y,z)+F4(x,y,z)用不变量判断二次曲面类型记1(x,y,z)=a11x+a12y+a13z2(x,y,z)=a12x+a22y+a23z3(x,y,z)=a1

8、3x+a23y+a33z4(x,y,z)=b1x+b2y+b3z则(x,y,z)=x1(x,y,z)+