2018版高中数学 第一章 解三角形章末复习提升学案 新人教A版必修5.doc

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1、第一章解三角形一、本章知识网络二、题型探究题型一　利用正弦、余弦定理解三角形1．解三角形的四种类型已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理、正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，正弦

2、定理、余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，b，A)可有两解、一解或无解2.三角形解的个数的判断已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”进行判断，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．(1)利用正弦定理讨论：若已知a，b，A，由正弦定理＝，得sinB＝.若sinB>1，无解；若sinB＝1，一解；若sinB<1，一解或两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a，b，A.由余

3、弦定理a2＝c2＋b2－2cbcosA，即c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解．例1　如图，在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B＝45°，b＝，cosC＝.(1)求边长a；(2)设AB中点为D，求中线CD的长．解　(1)由cosC＝，C∈(0°，90°)，得sinC＝＝＝，sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝，

4、由正弦定理得a＝＝＝3.(2)由余弦定理得c2＝(3)2＋()2－2×3××＝4，所以c＝2，又因为D为AB的中点，所以BD＝1.在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BC×cosB＝12＋(3)2－2×1×3×＝13，∴CD＝.跟踪训练1　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2＋c2－bc＝a2和＝＋，求A和tanB的值．解　由余弦定理cosA＝＝>0，∴A∈(0°，90°)，∴A＝60°.在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B.

5、由已知条件，应用正弦定理得＋＝＝＝＝＝＋，从而tanB＝.题型二　判断三角形的形状1．利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状的两种方法方法一：通过边之间的关系判断形状；方法二：通过角之间的关系判断形状．利用正弦、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件化为边的关系或化为角的关系．2．判断三角形的形状时常用的结论(1)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA

6、3)在△ABC中，a2＋b2c2⇔cosC>0⇔00，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°.由acosB＝bcosA，得2RsinAcosB＝2RsinBcosA(R为△ABC外接圆的半径)，∴si

7、n(A－B)＝0，又∵A－B∈(－180°，180°)，∴A－B＝0°，∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为等边三角形．跟踪训练2　在△ABC中，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，请判断三角形的形状．解　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴(a2＋b2)(sinAcosB－cosAsinB)＝(a2－b2)(sinAcosB＋cosAsinB)，∴2b2sinAcosB－2a2cosAsinB＝0，∴＝，又由正弦定理可得＝，∴＝，∴＝，∴

8、sin2A＝sin2B.又∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．题型三　正弦、余弦定理的实际应用正弦、余弦定理的实际应用应注意的问题(1)认真分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图；(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等；(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角