2018版高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换学案 新人教A版必修4.doc

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1、3.2　简单的三角恒等变换1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.(难点、易错点)[基础·初探]教材整理　半角公式阅读教材P139～P140例2以上内容，完成下列问题.sin＝±，cos＝±，tan＝±，tan＝＝＝，tan＝＝＝.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos＝.(　　)

2、(2)存在α∈R，使得cos＝cosα.(　　)(3)对于任意α∈R，sin＝sinα都不成立.(　　)(4)若α是第一象限角，则tan＝.(　　)【解析】　(1)×.只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos＝.(2)√.当cosα＝－＋1时，上式成立，但一般情况下不成立.(3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立.(4)√.若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan＝成立.【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4

3、)√[小组合作型]化简求值问题　(1)已知cosθ＝－，且180°<θ<270°，求tan；(2)化简：(180°<α<360°).【精彩点拨】　(1)①cosθ＝－→tan＝±→tan的值；②cosθ＝－→tan＝→tan的值.对于(1)的思考要注意符号的选择.(2)化α为，消去数值1，再升幂判断的范围，然后化简得结论.【自主解答】　(1)法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，即是第二象限角，∴tan<0，∴tan＝－＝－＝－2.法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角

4、，∴sinθ＝－＝－＝－，∴tan＝＝＝－2.(2)原式＝＝＝.∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos<0，∴原式＝＝cosα.1.解决给值求值问题的方法及思路(1)给值求值问题，其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，经过适当变换已知式或变换欲求式解题.(2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用.2.三角函数化简的思路及原则：(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高

5、次函数，必须用降幂公式降为一次.(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：①运用公式之后能否出现特殊角；②运用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；③运用公式之后能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件.(3)对于三角函数的和差化积，有时因为使用公式不同，或选择题的思路不同，化积结果可能不一致.[再练一题]1.(1)已知sinα＝，cosα＝，则tan等于(　　)A.2－B.2＋C.－2D.±(－2)(2)已知π<α<，化

6、简：＋.【导学号：】【解析】　(1)因为sinα＝>0，cosα＝>0，所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一、三象限，所以tan>0，故tan＝＝＝－2.【答案】　C(2)原式＝＋.∵π<α<，∴<<，∴cos<0，sin>0，∴原式＝＋＝－＋＝－cos.三角恒等式的证明　(1)求证：1＋2cos2θ－cos2θ＝2；(2)求证：＝.【精彩点拨】　(1)可由左向右证：先把左边cos2θ降幂化为同角后整理可证.(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化.【自主解答】

7、　(1)左边＝1＋2cos2θ－cos2θ＝1＋2×－cos2θ＝2＝右边.所以原等式成立.(2)左边＝＝＝＝＝＝＝右边.所以原等式成立.三角恒等式证明的五种常用方法：(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简.(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”.(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，

8、就可以断定原等式成立.[再练一题]2.求证：＝1－.【证明】　法一：左边＝＝＝1－＝1－＝右边，∴原等式成立.法二：右边＝1－＝＝＝＝左边，∴原等式成立.三角函数在实际问题中的应用　如图321所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？图321【精彩点拨】　→→【自主解答】　设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R(sinα＋cosα)＋R＝Rsin＋R.∵0<α<，∴<α