2018版高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数学案新人教A版必修1.doc

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1、§2.3　幂函数学习目标　1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)．预习教材P77－P78，完成下面问题：知识点1　幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x－是幂函数．(　　)(2)函数y＝2－x是幂函数．(　　)(3)函数y＝－x是幂函数．(　　)提示　(1)√　函数y＝x－符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)×　幂函数中自变量x是底数，

2、而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数；(3)×　幂函数中xα的系数必须为1，所以y＝－x不是幂函数．知识点2　幂函数的图象和性质(1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y

3、y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减增增x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减公共点都经过点(1,1)【预习评价】(1)设函数f(x)＝x，则f(x)是(　　)A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数又是

4、偶函数(2)3.17－3与3.71－3的大小关系为________．解析　(1)易知f(x)的定义域为R，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)易知f(x)＝x－3＝在(0，＋∞)上是减函数，又3.17<3.71，所以f(3.17)>f(3.71)，即3.17－3>3.71－3.答案　(1)A　(2)3.17－3>3.71－3题型一　幂函数的概念【例1】　(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　)A．0　　　B．1　　　C．2　　D．3(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.解析　(1

5、)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B．(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.答案　(1)B　(2)5或－1规律方法　判断函数为幂函数的方法(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．

6、【训练1】　若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________．解析　设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得：α＝log23，∴f＝log23＝.答案　题型二　幂函数的图象及应用【例2】　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)A．－2，－，，2B．2，，－，－2C．－，－2,2，D．2，，－2，－(2)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，分别有：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(

7、x)0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，

8、n

9、越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B．答案　B(2)解　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；②当x＝1时，f(x)＝g(x)；③当x∈(0,1)时，f(x)

10、(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．【训练2】　如图是函数y＝x(m，n∈N*，m，n互质)的图象，则(　　)A．m，n是奇数，且<1B．m是偶数，n是奇数，且>1C．m是偶数，n是奇数，且<1D．m是奇数，n是偶数，且>1解