2019届高考数学一轮复习 选考部分 坐标系与参数方程学案 理.doc

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1、坐标系与参数方程第一节坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离

2、OM

3、叫做点M的极径，记为ρ.②

4、极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．　一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：4．简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程圆心为极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcosθ圆心为，半径为r的圆ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)

5、或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a过点，与极轴平行的直线ρsinθ＝a(0<θ<π)1．若点P的直角坐标为(3，－)，则点P的极坐标为______．解析：因为点P(3，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.答案：2．圆ρ＝5cosθ－5sinθ的圆心的极坐标为________．解析：将方程ρ＝5cosθ－5sinθ两边都乘以ρ，得ρ2＝5ρcosθ－5ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2－5x＋5y＝0.圆心坐标为，化成极坐标为.答案：(答

6、案不唯一)3．在极坐标系中A，B两点间的距离为________．解析：法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，

7、AB

8、＝

9、OA

10、＋

11、OB

12、＝6.法二：∵A，B的直角坐标为A(1，－)，B(－2,2)．∴

13、AB

14、＝＝6.答案：64．在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(θ∈R)的距离是________．解析：设圆心到直线θ＝(θ∈R)的距离为d，因为圆的半径为2,d＝2·sin＝1.答案：1　　　　[考什么·怎么考]1．求椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程．解：由得到①将①代入＋y2＝1，得＋y

15、′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.2．求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将代入x2－＝1，得－＝1，化简得－＝1，即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求．3．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式为φ：求a，b的值．解：由得代入x2＋y2＝1中得＋＝1，所以a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2.[怎样快解·准解]伸缩变换公式应

16、用时的2个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(x′，y′)，再利用伸缩变换公式建立联系．(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(x′，y′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．　　　　极坐标与直角坐标的互化是解决极坐标问题的基础，是高考常考内容之一，既有单独考查，也有与参数方程等内容的综合考查，题型为解答题，难度适中.[典题领悟]在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin

17、＝(ρ≥0,0≤θ＜2π)．(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．[思维路径](1)由ρ＝cosθ＋sinθ及公式可将等式两边同乘以ρ，得ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，从而可化为直角坐标方程．将ρsin＝利用两角差的正弦公式展开，可得ρsinθ－ρcosθ＝1，从而可化为直角坐标方程．(2)可先求出直线l与圆O的公共点，然后将该公共点化为极坐标．解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，直

18、线l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为即为所求．[解题师说]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρ