-格林函数法资料.ppt

《-格林函数法资料.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、经典的格林函数法，又称为点源函数法或影响函数法。事实上，希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方程，进而得到问题的求解。格林函数与格林定理有源电磁场问题要求解非齐次波动方程，格林函数法是其中一种重要的求解方法。格林函数表示单位强度的点源的产生的场，是非齐次波动方程的基本解。在此基础上，可利用叠加原理求得任意分布的源所产生的场。如果源的分布是未知的，也可借助格林函数建立积分方程，将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程，从而有利于用数值方法对问

2、题进行求解.确定论问题边值问题格林函数法的主要特点是：1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界条件的局限），2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题；3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换为关键是求解点源的相对简单的问题。1、点电荷密度的δ函数表示(1)、函数(x≠0)(积分区域V包含x=0点)(x=0)函数---密度函数(2)函数的一个重要性质若f(x)在x’点附近连续，则同理，若f(x)在原点附近连续，则这一性质称为函数的选择特性。处于原点上的单

3、位点电荷的密度用函数(x)表示(3)点电荷的电荷密度处于原点上的点电荷Q的密度可用Q(x)表示,即(积分区域V包含x=x’点)(x≠x’点)处于x’点上的点电荷Q的密度可用Q(x-x’)表示,即2、格林函数引入Green函数是与理想点源相联系的。具体地说，Green函数是理想点源在给定边界条件下微分方程的解答。用Green函数求解电磁场是场论中的重要方法之一。当给定边界条件的Green函数比较容易求得时，利用Green函数计算分布场源的解答常常是方便的。借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决较复杂的边值问题。静态场时，位于原点的点电荷q在自由空间产生的标量电位

4、为式中，，G为静态场的自由空间Green函数。上式表明，格林函数G将电荷与电位联系起来。利用格林函数，分布电荷的标量位为场与源电荷源时谐场中，位于原点的电流元Idl在自由空间产生的矢量磁位为位于原点的磁流元Imdl在自由空间产生的矢量电位为式中，G为交变场中的自由空间格林函数。利用格林函数，分布电流和磁流的矢量位为电流源3、格林函数的一般概念定义：纯点源产生的场（不计初始条件和边界条件的影响）。例子：ΔG=δ(r-r’)，G

5、Γ=0(t–a2Δ)G=δ(r-r’)δ(t-t’)，G

6、Γ=G

7、t=0=0一般形式LG(xi)=δ(xi-xi’)G

8、边界=G

9、初始=0分

10、类：按泛定方程可以分为：稳定问题的格林函数L=Δ热传导问题的格林函数L=(t–a2Δ)波动问题的格林函数L=(tt–a2Δ)按边界条件可以分为无界空间的格林函数，又称为基本解；齐次边界条件的格林函数。格林函数稳定问题ΔG=δ(r-r’)输运问题(t–a2Δ)G=δ(r-r’)δ(t-t’)G

11、t=0=0波动问题(tt–a2Δ)G=δ(r-r’)δ(t-t’)G

12、t=0=0Gt

13、t=0=0无界空间泊松方程的基本解热传导方程的基本解波动方程的基本解齐次边界G

14、Γ=0泊松方程的格林函数热传导方程的格林函数波动方程的格林函数性质：设数学物理方程为Lu(x)=f(x)

15、而格林函数方程为LG(x)=δ(x-x’)在相同的齐次定解条件下因为：f(x)=∫f(x’)δ(x-x’)dx’所以：u(x)=∫f(x’)G(x-x’)dx’应用（求解数学物理方程的格林函数法）范围：非齐次泛定方程、齐次定解条件程序：先求出对应的格林函数，再积分得待求函数格林函数是为了求解实际问题的泊松方程而找到的特殊函数，不同的实际问题对应不同的格林函数。4、稳定问题的基本解原问题点源问题点电荷电场方程解稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到原问题点源问题关系基本思路求解方法稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。点源问题可以看成接地的导体边界内在r’处

16、有一个电量为-ε0的点电荷。边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同产生。在一些情况下，导体中所有感应电荷的作用可以用一个设想的等效电荷来代替，该等效电荷称为点电荷的电像。这种方法称为电像法例题在半空间内求解稳定问题的格林函数解：根据题目，定解问题为这相当于在接地导体平面上方点M(x’,y’,z’)处放置一个电量为-0的点电荷，求电势。设想在M的对称点N(x’,y’,-z’)处放置一个电量为+ε0的点电荷，容易看出在平面z=0上电势为零，这表明在N点的点电荷就是电像。根据点电荷的电势公式，我们不难得到格林函数一个处于x'点上的单位点电荷所激发的电势满足泊松