高中数学 3.1.1倾斜角与斜率学案设计 新人教A版必修2.doc

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1、第三章　直线与方程3.1　直线的倾斜角与斜率3.1.1　倾斜角与斜率学习目标1.理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率;2.掌握过两点的直线斜率的计算公式;3.能用公式和概念解决问题.合作学习一、设计问题、创设情境问题1:在平面直角坐标系中,点这一几何图形可以用数表示吗?坐标的含义是什么呢?问题2:请你在坐标系中表示出点P(2,0)和点Q(3,1).过点P、Q可以作几条直线,为什么?过一点P可以作几条直线呢?问题3:现在给出点M(4,2)和点N(3,3),请大家画出过点P,M的直线,和过点P,N的直线.请大家观察,直线PQ、直线PM以及直线PN有什么联系?有什么区别?并请大家探究这种

2、区别可以用什么量来描述?二、学生探索、尝试解决问题4:倾斜程度是相对于哪个对象的?请大家继续探究倾斜程度可以用什么量来刻画?请大家继续探究如何定义“角”或者“变化率”?问题5:过点P与x轴形成45°角的直线有几条?进一步问:如何区分这两条直线呢?选择哪个角来描述直线的倾斜程度,就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢?课堂练习1:在下列各图中分别标出各直线的倾斜角.问题6:由以上对倾斜角的定义,你能确定倾斜角α的取值范围吗?问题7:对于直线相对于x轴的倾斜程度,除去用倾斜角这一几何图形描述之外,我们知道还能用纵坐标相对于横坐标变化的快慢来描述,他们之间有什么关系呢,我

3、们应该将它们怎样联系起来呢?课堂练习2:分别求出α=45°,α=135°,α=90°时,对应的直线的斜率;当α在[0°,180°)内变化时,斜率k如何变化?四、用规律、解决问题问题8:在平面直角坐标系中,已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)且x1≠x2,能否用P1,P2的坐标来表示直线斜率k?思考:1.各种一般情形得出的结论一致吗?与P1,P2这两点坐标的顺序有关系吗?2.当直线垂直于x轴或y轴时,上述结论适用吗?3.斜率公式使用时应注意什么问题?五、变练演练、深化提高【例题】已知A(3,2),B(-4,1).(1)求直线AB的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角;

4、(2)若点C(x,3)在直线AB上,求实数x的值.变式训练:已知点A(1,2),B(3,5),C(x,6).(1)若直线AC的倾斜角α=45°,求实数x的值;(2)若A、B、C三点共线,求实数x的值.六、信息交流,教学相长问题9:为什么要学习直线的斜率?这体现了什么思想?参考答案一、问题1:可以,用坐标表示;横、纵坐标的绝对值,分别表示这一点到y轴、x轴的距离,即坐标轴为参照对象.问题2:一条;两点确定一条直线;无数条.问题3:都过点P;直线PQ与直线PN是过同一点的两条直线.这两条直线的区别可以从倾斜程度不同或者“变化率”不同两个方面来解释.二、问题4:x轴;可以同“角”或者“

5、变化率”来刻画;三、问题5:两条;需要从方向上来定义;课堂练习:问题6:倾斜角的范围是α∈[0°,180°).问题7:构造关于倾斜角的直角三角形.课堂练习2:答案:因为tan45°=1,tan135°=-tan45°=-1,α=90°时,斜率不存在.四、问题8:解:设直线P1P2的倾斜角为α(α≠90°),当直线P1P2方向向上时,过点P1作x轴的平行线,过点P2作y轴的平行线,两线交于点Q,则点Q的坐标为(x2,y1)(1)当α为锐角时,α=∠QP1P2,x1

6、1P2=θ),x1>x2,y10,所以其倾斜角是锐角;(2)因为点C(x,3)在直线AB上,所以,解得x=10.变式训练:解:(1)因为tanα==1,故x=4;(2)因为A,B,C三点共线,所以k

7、AB=kAC,即,解得x=.六、信息交流,教学相长问题9:为了用代数方法研究直线问题;体现了数形结合思想.