高等数学第六章定积分应用第1、2、3节.ppt

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1、第六章定积分的应用在引出定积分的引例中，我们介绍了计算曲边梯形的面积，变速直线运动的路程等问题。它们所涉及的思想方法是相同的。现在我们把这一思路用更简洁的形式表示出来，以期能用它来解决更多的此类问题。如求旋转体的体积、平面曲线的弧长、变力所作的功及水压力等。§1.定积分的元素法回顾求曲边梯形面积的步骤：y=f(x)≥0，且在[a,b]上连续。(1)分割：得小曲边梯形的面积(i=1,2,…,n)(2)近似：(3)求和：(4)取极限：其中，极限固然重要，但定积分形式的形成关键在于(2)部分量形成了被积表达式(1)所求量具有区间可加性是形成定积分的前提。为简便起见，现省去下标。(1),(2

2、),的雏形。0xyy=f(x)ab上的小曲边梯形面积，xx+dx又称为面则小区间长为dx，记作dA,或面积微元。dx积元素，只要求出一小块的面积，其无限的累加即为所求整个曲边梯形的面积。把面积A改为一般的所求量I，则有这一小段的质量则整段细棒的质量为这一小段质量的无限累加。这就是定积分的元素法。如长为l的细棒上的线密度ρ(x)连续，则细棒的质量：l0§2.定积分在几何学上的应用现在利用元素法讨论：(1)平面图形的面积(2)旋转体的体积(3)平行截面面积为已知的立体体积(4)平面曲线的弧长(5)旋转曲面的面积等几何问题。1、直角坐标情形(1)图形由连续曲线(a)取任一小区间以直边近似代

3、替曲边，一、平面图形的面积0xyy=f(x)abxx+dxx..x0xyy=f(x)ab(2)图形由两条连续曲线0yx.xxy0此时取y为积分变量yxy.求平面图形面积的步骤:作图，求出交点选择积分变量，写出面积元素作定积分，并计算(1)选x为积分变量求交点(2)选y为积分变量例1：解：例2.解方程组：得交点：(8,4),(2,–2)选y为积分变量,–2yx44–4如选x为积分变量,请同学们写出计算过程.xyo3–3得两切线的斜率为故两切线为其交点的横坐标为A=l1l22、参数方程情形若曲边由参数方程：例1：图形的面积。(星形线，又称内摆线)由图形的对称性，0yx3、极坐标情形围成的

4、图形面积。A(即求曲边扇形的面积)由元素法：任取即有面积元素：r0Ar0例题例1：分析：由直角坐标与极坐标的变换关系：为圆心在(a,0),半径为a的圆2aa同理2aa00解：例1：2aa0xyoaa一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。心形线(圆外旋轮线)观察动点的运动xyoaa2a观察动点的运动心形线(圆外旋轮线)xyo2ar=a(1+cos)020r2aPr心形线(圆外旋轮线)2ar=a(1+sin)020r2aPr心形线(圆外旋轮线)xyoaxyo例2.2A=r=1+cos3r=3cos由3cos=1+cos得A2由

5、对称性双纽线化成极坐标令r=0,A=4+0xya旋转体：由一平面图形绕这平面内的一条直线旋转一周而成的立体。此直线称为对称轴。如：圆柱、圆锥、圆台、圆球、…现在利用元素法推导旋转体的体积公式。二、立体体积1、旋转体的体积xf(x)ab曲边梯形：y=f(x),x=a,x=b,y=0绕x轴旋转求旋转体体积xf(x)abx111111111曲边梯形：y=f(x),x=a,x=b,y=0绕x轴旋转求旋转体体积V=x+dxx=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴求旋转体体积x=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴求旋转体体积x

6、=g(y)yx0cdy求旋转体体积曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴abf(x)yx0求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x),x=a,x=b,y=0绕y轴xdx在[a,b]上，xabyx0内表面积dx求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x),x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)byxa求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x),x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)byx0a求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x),x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)00xbxadx求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y

7、=f(x),x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)Yx0bdx0ya曲边梯形y=f(x),x=a,x=b,y=0绕y轴求旋转体体积—柱壳法dV=2xf(x)dx例1：绕x轴与y轴旋转所得立体的体积。解：2(1)绕x轴：dx(2)绕y轴：为中空立体，法1：dy—曲边三角形绕y轴旋转所得立体体积2dx法2：柱壳法例2.设在x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:证:利用柱壳法则故例3：设平面图形D由确定,