仿射变换--不变量.doc

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1、第2章仿射变换2.2仿射不变性与不变量经过平行射影不改变的性质和数量，称为仿射不变性质和仿射不变量.．经过仿射对应它们也是不变的．由前面所述，可知同素性、结合性都是仿射不变性质．因此，仿射对应把共点的线变成共点的线，把共线的点变成共线的点．此外我们还可以证明如下的一些不变性质和不变量．定理2.1二直线间的平行性是仿射不变性质．证明设与是平面内的两条平行线，与是它们在平面内的仿射对应下的象．下面证明与平行．若与不平行，交于点，那有原象点，在上，又在上，于是与相交于，即与不平行矛盾，于是与平行．aba’b’图2-4由上面的结果可知推论2.2平行四边形在仿射对应下的象还是平行四边形．思考题

2、：正方形在仿射对应下的象是不是正方形？定义2.1设是直线上三点（见图2-5），有向线段的比,称为这三点的简比（或单比），记为，即.ABC图2-5显然：⑴当在之间时，,⑵当在之外时，,⑶当时，,⑷当时，．定理2.3共线三点的简比是仿射不变量．证明首先注意到，简比在平行射影下是不变的，(见图2-6).由初等几何这是显然的.因此，经过有限次平行射影变换也是不变的，即它是仿射不变量．图2-6定理2.4两条平行线段的比是仿射不变量．证明设与是两条平行的线段见图2-7，过上取，使是平行四边形，它们在仿射对应下的象是与．由上面推论2.2可知，是平行四边形，平行与，由于简比是仿射不变量，因此图2-7

3、定理证毕．定理2.5直线上两条线段的比是仿射不变量．证明留做作业．注：一般地，任意两直线段之比，不是仿射不变量.下面证明：平面上两个图形的面积之比是仿射不变量.先证明一个引理．引理2.6在平行射影下，任何一对对应点到对应轴的距离之比是一个常数．证明设与，与是两对平行射影对应点，如图2-8，ACBA0b0PgAC’0C0BB’A’C’图2-8图2-9从而平行于，从这些点到对应轴作垂线，若和平行与对应轴，结论是明显的.设与交于.则而于是从而有（常数）这个比例常数由平行射影确定．定理2.7在仿射对应下，任何一对对应三角形面积之比等于常数.换句话讲，任意两个三角形面积之比是仿射不变量．证明先

4、对平行射影证明，然后推广到仿射对应．⑴若对应三角形与有两对对应点，与与重合在对应轴上，由第三对对应点与，作的垂线见图2-9.则，这里表示了三角形的面积，由引理2.6知道，上式右边是一个常数，所以．⑵一般情况.如图2-10所示，与平行射影对应的中，三对对应边相交于对应轴上于三点．CABYXZABC图2-10由上一步的证明，，.当与有一对对边平行，且与没有交点时，结论显然还是成立的.上面对平行射影证明了定理2.7，下面就一般的仿射对应证明定理2.7．设上三角形经平行射影变到上三角形经到的平行射影变到上，以此类推，上经过到的平行射影变到上三角形．由上面证明，每一次投影，有一个面积比较常数，

5、于是所以.若是上另一个三角形，经过变成上三角形，且,故有证毕．推论2.8任何两个多边形的面积之比是仿射不变量，因此任意两个图形的面积之比是仿射不变量。．练习２－２1、证明：三角形的重心有仿射不变性．2、证明：平行四边形的中心有仿射不变性．3、证明：梯形在仿射对应下仍为梯形．4、证明：任意两个多边形面积之比是仿射不变量．5、已知平面上的一条定直线为平面上的任意一点,点的对应点是点p关于直线的对称点,这种变换称为反射变换,定直线叫做它的轴.试证明:反射变换是仿射变换．