度量空间中开集、闭集、自列紧集和紧集.pdf

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1、度量空间中邻域、有界集、开集、聚点、闭集、自列紧集、紧集和连通集的概念设X是度量空间，xX，AX。01.邻域设是正实数，点xX的“邻域”是指集合xdxx,,xX，记00作Uxxdxx,,,xX。002．有界集集合AX是“有界集”是指:存在点xX和正实数使得AUx,。003.开集集合AX是“开集”是指:对任意点xA,存在正数，使得UxA,。xx4.聚点和孤立点点xX是集合AX的“聚点”是指:x的任意邻域包含有A中的点。00点xX是集合A的“孤立点”

2、是指:xA但点x不是A的聚点。0005.闭集集合AX是“闭集”是指:A的所有聚点都属于A（或A没有聚点）。6.自列紧集集合AX是“自列紧集”是指:A的任意序列有收敛于A中某点的子序列。7.紧集集合AX是“紧集”是指:A的任意开覆盖可以选出有限覆盖。8.连通集集合AX是“连通集”是指:不存在X的非空开子集M、N满足MA、NA、AMN且MN。(等价说法：度量空间X是连通的，若存在X的非空开子集M、N满足XMN且MN。两个说法等价性在于：前一个说法中，若把A看作X的度量子空间，那么MA和

3、NA实际上是A的开子集。)度量空间中开集、闭集、自列紧集和紧集的之间的关系1.度量空间的开子集的余集是闭集。证明：设X是度量空间，A是X的开子集,BXA。(1)若B没有聚点，那么B是闭集。(2)若B有聚点，任取B的一个聚点x，那么x的任意邻域含B中的点，所以x的任意邻域都不包含于A。又因为A是开集，所以xA,所以xB。综上，B是闭集。所以开集的余集是闭集。2.度量空间的闭子集的余集是开集。证明：设X是度量空间，B是X的闭子集,AXB。设xA，那么xB，所以x不是B的极限点(若是，则xB)。所以存在x的邻域

4、Ux,不包含B中的点，即UxA,。所以A是开集。所以闭集的余集是开集。3.度量空间的自列紧子集是有界闭集。证明：设X是度量空间，集合A是X的自列紧子集。(1)证A是有界集。反证法。假设A不是有界集，设xX，则对任意正整数n存在xA，使0n得xnUxn0,，即dxx0,nn。显然序列xn是A的序列，设序列xNn是序列xn的任一子序列，显然对于任意正整数k有Nkk。对于任意点xX和某正数，存在正整数Ndxx,（阿基米德原理）。当nN,由三角不等式知0dxx00,,,d

5、xxdxxNN，即nndxx,,,,dxxNNnnndxx000Ndxxndxx00,0,0,,Ndxxdxxdxx所以x的任何子序列不收敛，矛盾。所以A有界。n(2)证A是闭集。若A没有聚点，那么根据定义知A是闭集；若A有聚点，设xX是A的聚0点。因为x0是A的聚点，所以对任意正整数n，存在点xAn使得xnUxn0,1。那么对任意正数，当n11，dxx,。所以x收敛于x，x的0nn0n任意子序列也收敛于x。因

6、为A的任意序列存在收敛于A中点的子序列，所以0xA。所以A包含它的所有聚点，A是闭集。0综上，A是有界闭集。4.度量空间的紧子集是有界闭集。证明：设X是度量空间，集合A是X的列紧子集。(1)证A是有界集。设为某一正实数，设X的一个开集族GFFUxxA,,。那么对xx于任意xA，xF，所以G是A的开覆盖。因为A是列紧集，从开覆盖G中可x选出有限覆盖FFGkn,1,2，设邻域F的中心是x。任取xX，设kkkk0max,1,2dxx0kkn。任取xA，因为FFkkGkn,

7、1,2覆盖A，所以存在正整数kn1,2使得xFUx,，所以dxx,。由三角不kkk等式知dxx,,,maxdxx,1,2dxxdxxkn000kkk所以xUx,。因为xA是任取的，所以AUx,。所以A是有界集。00(2)证A是闭集。反证法。设A不是闭集，那么存在一点xX是A的聚点且xA。对任意00xA，有xx0，所以dxx0,0，那么存在正数xdxx0,。设集族GFFUxxxxxA,,，显然G是开集族，且对任

8、意xA有xFGx,所以G是A的开覆盖。设FFkkGkn,1,2是G的任意有限子集，设邻域Fk的中心是xk。因为对任意xA有dxx,，所以dxx,0。设mindxx,。x00kx0kxk因为x是A的聚点，所以存在xUx,，即dxx,