波利亚解题实例.doc

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1、用波利亚的解题方法解题在△ABC中，所对的边分别是，且为内切圆上的动点.求点到顶点的距离的平方和的最小值与最大值。　　【分析】：第一步：理解题意。　本题的条件是(i)c=10,(ii)(iii)P是内切圆上的动点，所求的结论是要求出P点到A，B，C三顶点的距离的平方和的最值。　　由此可得，这是一道关于图形的最值问题。　第二步：拟订计划．　　设想以前未曾遇到过这个问题，但曾见过也解过与此密切相关的两类问题：　　　第一，已知三角形某些边角之间的数量关系，要求判断这三角形的形状或解出它。　　　第二，在一确定的

2、三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三边的距离和平方和的最小值。　于是原问题可分列为两个较为简单的问题：①a，b，c为的三边，且c=10，，试确定△ABC的形状及其大小。　②确定的的内切圆上有一动点P，试求PA2+PB2+PC2的最小值与最大值。　　　对①小题，已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来．对于②小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求

3、出。至此，一个比较完整的解题计划可以说是拟定了。　第三步：实现计划：　　由用正弦定理做代换，得　　即或，　因为知，且是三角形内角，　　所以即　　所以是直角三角形.　　再由c=10，及，可解得a=6,b=8.　　如图1，建立直角坐标系，使直角△ABC的三个顶点　为A（8，0），B（0，6），C（0，0）.在直角中，有　　所以，内切圆的圆心为方程为.　　设圆上的任一点为P（x,y）,则有　　S=　　　　　　　因P是内切圆上的点，故o≤z≤4，于是当z=4时，有最小值72，当x=o时，有最大值88。　　第四步

4、：回顾讨论．　　对于上面解题过程的运算检验无误后可考虑：　x=O时，P点运动到BC上的M，此时的所求平方和最大值为88；当x=4时，P点运动到过M的直径的另一端点N，此时得所求平方和最小值为72．　　此外，能否用别的方法来导出结果呢?对第①小题也可一开始用余弦定理作代换，对第②小题除选择不同的位置建立坐标系外，圆上的动点P也可以利用参数式表示，于是有好几种解法(略)．　　　本题虽然是一道不复杂的综合题，但善于解题的人也会从中获得一些有益的经验．　(1)如果本题前部分不用正弦或余弦定理作代换，后半部分不使

5、用解析法，虽仍能设法确定三角形并推导出目标函数，但解题过程的繁杂呈度明显上升．这说明，对于同样的素材(题设条件)，选用不同的加工方法(解题方法)，其繁简程度是有显著区别的．　　　(2)从上题的解答中，我们可以认识到图形中的最值常在动点位于某些特殊位置时产生．　　　(3)数形结合，会使计算大为简化，并且可能揭露问题.