图论算法---最大流问题.ppt

《图论算法---最大流问题.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、图论算法---最大流问题长沙市雅礼中学朱全民运输网络现在想将一些物资从S运抵T，必须经过一些中转站。连接中转站的是公路，每条公路都有最大运载量。每条弧代表一条公路，弧上的数表示该公路的最大运载量。最多能将多少货物从S运抵T？4248473621STV1V2V3V4公路运输图基本概念这是一个典型的网络流模型。为了解答此题，我们先了解网络流的有关定义和概念。若有向图G=(V,E)满足下列条件：有且仅有一个顶点S，它的入度为零，即d-(S)=0，这个顶点S便称为源点，或称为发点。有且仅有一个顶点T，它的出度为零，

2、即d+(T)=0，这个顶点T便称为汇点，或称为收点。每一条弧都有非负数，叫做该边的容量。边(vi,vj)的容量用cij表示。则称之为网络流图，记为G=(V,E,C)可行流可行流对于网络流图G，每一条弧(i,j)都给定一个非负数fij，这一组数满足下列三条件时称为这网络的可行流，用f表示它。1.每一条弧(i,j)有fij≤Cij2.流量平衡除源点S和汇点T以外的所有的点vi，恒有：∑j(fij)=∑k(fjk)该等式说明中间点vi的流量守恒，输入与输出量相等。3.对于源点S和汇点T有，∑i(fSi)=∑j(f

3、jT)=V(f)可增广路给定一个可行流f={fij}。若fij=Cij，称为饱和弧；否则称为非饱和弧。若fij=0，称为零流弧；否则称为非零流弧。定义一条道路P，起点是S、终点是T。把P上所有与P方向一致的弧定义为正向弧，正向弧的全体记为P+；把P上所有与P方向相悖的弧定义为反向弧，反向弧的全体记为P-。譬如在图中，P=(S,V1,V2,V3,V4,T)，那么P+={,,,}P-={}给

4、定一个可行流f，P是从S到T的一条道路，如果满足：fij是非饱和流，并且∈P+,fij是非零流，并且∈P-那么就称P是f的一条可增广路。之所以称作“可增广”，是因为可改进路上弧的流量通过一定的规则修改，可以令整个流量放大。剩余图(残余网络)剩余图G’=(V,E’)流量网络G=(V,E)中，对于任意一条边(a,b)，若flow(a,b)0则(a,b)∈E’可以沿着a--->b方向增广剩余图中，从源点到汇点的每一条路径都对应一条增广路Cap

5、acity=5Capacity=6Capacity=2Flow=2Flow=2Flow=2有向图32224剩余图剩余图中，每条边都可以沿其方向增广剩余图的权值代表能沿边增广的大小G=(V,E,C)是已知的网络流图，设U是V的一个子集，W=VU，满足S∈U，T∈W。即U、W把V分成两个不相交的集合，且源点和汇点分属不同的集合。对于弧尾在U，弧头在W的弧所构成的集合称之为割切，用（U，W）表示。把割切（U，W）中所有弧的容量之和叫做此割切的容量，记为C（U，W），即：割切割切示例上例中，令U={S,V1}，则

6、W={V2,V3,V4,T}，那么，C(U,W)=+++=8+4+4+1=17流量算法的基本理论定理1：对于已知的网络流图，设任意一可行流为f，任意一割切为(U,W)，必有：V(f)≤C(U,W)。定理2：可行流f是最大流的充分必要条件是：f中不存在可改进路。定理3：整流定理。如果网络中所有的弧的容量是整数，则存在整数值的最大流。定理4：最大流最小割定理。最大流等于最小割，即maxV(f)=minC(U,W)。最大流算法第1步，令x=(xij)是任意整数

7、可行流，可能是零流，给s一个永久标号(-,∞)。第2步(找增广路)，如果所有标号都已经被检查，转到第4步。找到一个标号但未检查的点i,并做如下检查，对每一个弧(i,j),如果xij0,且j未标号，则给j一个标号(-i,δ(j)),其中，δ(j)=min{xji,δ(i)}第3步(增广)，由点t开始，使用指示标号构造一个增广路,指示标号的正负则表示通过增加还是减少弧流量来

8、增加还是减少弧流量来增大流量，抹去s点以外的所有标号，转第二步继续找增广轨。第4步(构造最小割)，这时现行流是最大的，若把所有标号的集合记为S，所有未标号点的集合记为T,便得到最小割(S,T)。实例复杂度分析设图中弧数为m,每找一条增广轨最多需要进行2m次弧的检查。如果所有弧的容量为整数，则最多需要v(其中v为最大流)次增广，因此总的计算量为O(mv)。proceduremaxflow;{最大流}vari,j,d