有限元 ansys 二维单元.ppt

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1、第四章二维单元矩形单元平面四边形单元线性三角形单元平面三角形单元等参单元二维积分：高斯－勒让德多项式4.1矩形单元一维的解是由线段近似的，而二维的解是由平面片近似的。仍以温度函数为例，研究二维空间问题，假设温度在X和Y方向均会发生变化。温度沿单元的分布是X坐标和Y坐标的函数：矩形单元在局部坐标系中，节点的温度满足以下条件：将以下条件应用到方程中得到b1，b2，b3，b4：与一维单元相同，可以得到对于典型单元由形函数表示的温度分布：其中形函数为：1.自然坐标自然坐标系是局部坐标系的无量纲形式。积分的上下限分别为1和－1。局部坐标系x，y的原点取在

2、自然坐标的，处。令，由自然坐标表示的形函数为：4.2平面四边形单元八节点的平面四边形单元是一种高阶的平面四边形单元。适用于带有曲线边界的问题。由自然坐标表示的八节点的平面单元的形式为：设和每个节点有关的形函数可以表示为两个函数F1和F2的乘积：对于给定节点，选取第一个函数F1，使得它在与给定节点无关的单元上值为零。选择第二个函数F2时，要使它和F1的乘积在给定的节点上为1，在其他相邻节点上为0。为了说明这个方法，考虑角节点m，它的自然坐标为。首先选择F1，使得它在ij侧和in侧的值为零。设：再设：要使它与F1的乘积在节点m处值为1，在相邻节点l

3、和o上值为0。在节点m处计算Sm,对于和应该为Sm＝1。在节点l处计算Sm,对于应为Sm＝0。在节点o处计算Sm，对应该为Sm＝0。对方程应用以上条件得到：得到可以用同样的方法确定其它几个角节点的形函数:对于中间节点，作为例子，推导节点o的形函数。首先选择F1使得它在ij侧和in侧以及jm侧的值为0。有：由于方程F1三项的乘积将产生线性和非线性的项，所以第二个函数F2必须是常数。应用边界条件：得到：类似得到其它中间节点的形函数为：4.3线性三角形单元三角形单元由三个节点定义，可以用下式表示三角形区域内独立变量的变化：考虑三角形单元节点的温度，必

4、须满足以下条件：将节点的值带入关系式，得到：求解以上方程得到：其中A是三角形单元的面积，可以用以下方程计算：将代入方程，并组合项，则有：其中：且三角形形函数与其它形函数具有同样的基本性质。三角形单元的自然坐标：考虑三角形区域内坐标为（x，y）的点p。将p点与节点i，j和k相连，将会把三角形的面积分为三个更小的面积A1，A2和A3。对于三角形单元，自然（面积）坐标定义为：其中只有两个自然坐标是线性独立的，因为：三角形自然（面积）坐标与形函数是完全相同的，即：例如：4.4平面三角形单元如果区域内有某个变量（如温度）随空间发生变化，可以用二次函数来更

5、精确的近似，例如：由自然坐标表示的形函数为：平面三角形单元4.5等参单元若使用一组参数（一组形函数）定义u，v，T等未知变量，并使用同样的参数（同样的形函数）表示几何关系，则称为等参公式，用这种方法表示的单元称为等参单元。4.6二维积分：高斯－勒让德多项式对于高斯－勒让德多项式进行扩展以求解二维问题。