2020一轮北师大版（理）数学训练：第3章 第6节　课时分层训练22　正弦定理和余弦定理 含解析.doc

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1、课时分层训练(二十二)正弦定理和余弦定理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B[由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA＞0，∴sinA＝1，即A＝.]2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()【导学号：57962174】A．有一解B．有两解C．无

2、解D．有解但解的个数不确定C[由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝＞1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．4A[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]4．(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，则△ABC的面积为()【导学号：57962175】A.B．C.D．B[依

3、题意得cosC＝＝，C＝60°，因此△ABC的面积等于absinC＝××＝，故选B.]5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()A.B．C．－D．－C[法一：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，AB＝BC，AC＝BC，在△ABC中，由余弦定理的推论可知，cos∠BAC＝＝＝－.法二：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，在Rt△ADC中，AC＝BC，sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，又因为∠B＝，所以cos∠BAC＝cos＝cos∠DAC·cos－sin∠DAC·sin＝×－×＝－.]

4、二、填空题6．(2017·郴州模拟)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝__________.[由正弦定理可得＝，所以sinB＝，再由b＜a，可得B为锐角，所以cosB＝＝.]7．(2016·青岛模拟)如图361所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．图361[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，∴BD＝.]8．已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sinC＝c

5、osC，则△ABC的面积为________.【导学号：57962176】[由sinC＝cosC得tanC＝＞0，所以C＝.根据正弦定理可得＝，即＝＝2，所以sinA＝.因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝，所以B＝，即三角形为直角三角形，故S△ABC＝××1＝.]三、解答题9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cosB＝.(1)求b的值；(2)求sinC的值.【导学号：57962177】[解](1)因为b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋25－2×2×5×＝17，所以b＝.5分(2)因为cosB＝，所以sinB＝，7分由正弦定理＝，得＝，所以sinC

6、＝.12分10．(2017·云南二次统一检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m＝(sinB,5sinA＋5sinC)与n＝(5sinB－6sinC，sinC－sinA)垂直．(1)求sinA的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积S的最大值．[解](1)∵m＝(sinB,5sinA＋5sinC)与n＝(5sinB－6sinC，sinC－sinA)垂直，∴m·n＝5sin2B－6sinBsinC＋5sin2C－5sin2A＝0，即sin2B＋sin2C－sin2A＝.3分根据正弦定理得b2＋c2－a2＝，由余弦定理得cosA＝＝.∵A是△ABC的内角，∴sinA＝＝.6分(2

7、)由(1)知b2＋c2－a2＝，∴＝b2＋c2－a2≥2bc－a2.8分又∵a＝2，∴bc≤10.∵△ABC的面积S＝bcsinA＝≤4，∴△ABC的面积S的最大值为4.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·山东高考)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.B．C.D．C[∵b＝c，∴B＝C.又由A＋B＋C＝π得B＝－.由正弦定理及a2＝2b