【三维设计】2013届高考数学总复习(基础知识 高频考点 解题训练)第二章 二次函数与幂函数教学案(含解析)新人教A版.doc

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1、第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y=xy=x2y=x3y=xy=x-1图象定义域RRR{x

2、x≥0}{x

3、x≠0}值域R{y

4、y≥0}R{y

5、y≥0}{y

6、y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(-∞,0]减(0,+∞)增增增(-∞,0)和(0,+∞)减公共点(1,1)二、二次函数1.二次函数的定义形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.2.二次函数解析式的三种形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);(3)零点式:

7、f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).3.二次函数的图象和性质a>0a<0图象15图象特点①对称轴:x=-; ②顶点:性质定义域x∈R值域y∈+∞y∈奇偶性b=0时为偶函数,b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x∈-∞,时递减,x∈-,+∞时递增x∈时递增,x∈时递减[小题能否全取]1.若f(x)既是幂函数又是二次函数,则f(x)可以是(  )A.f(x)=x2-1       B.f(x)=5x2C.f(x)=-x2D.f(x)=x2解析:选D 形如f(x)=xα的函数是幂函数,其中α是常数.2.(教材习题改编)设α∈,则使函数y=xα

8、的定义域为R且为奇函数的所有α值为(  )A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3解析:选A 在函数y=x-1,y=x,y=x,y=x3中,只有函数y=x和y=x3的定义域是R,且是奇函数,故α=1,3.3.(教材习题改编)已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是(  )A.B.C.D.解析:选C 由题意知即得a>.4.(教材习题改编)已知点M在幂函数f(x)的图象上,则f(x)的表达式为________.15解析:设幂函数的解析式为y=xα,则3=α,得α=-2.故y=x-2.答案:y=x-25.如果函数f(

9、x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的最小值为________.解析:由题意知得则f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5.答案:5  1.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限,一定不会经过第四象限,是否经过第二、三象限,要看函数的奇偶性;(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内;(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.2.与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax2+bx+c>0,a≠0恒成立的充要条件是(2)ax2+bx+c<0,a≠0恒成立的充要条件是[注

10、意] 当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况.幂函数的图象与性质典题导入[例1] 已知幂函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3在(0,+∞)上是增函数,则m=________.[自主解答] ∵函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,-5m-3=-13,函数y=x-13在(0,+∞)上是减函数;当m=-1时,-5m-3=2,函数y=x2在(0,+∞)上是增函数.∴m=-1.[答案] -1由题悟法1.幂函数y=xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂,一般从两个

11、方面考查:15(1)α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降.(2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1时,曲线下凸;0<α<1时,曲线上凸;α<0时,曲线下凸.2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数.借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.以题试法1.(1)如图给出4个幂函数大致的图象,则图象与函数对应正确的是(  )A.①y=x,②y=x2,③y=x,④y=x-1B.①y=x3,②y=x2,③y=x,④y=x-1C.①y=x2,②y=

12、x3,③y=x,④y=x-1D.①y=x,②y=x,③y=x2,④y=x-1解析:选B 由图①知,该图象对应的函数为奇函数且定义域为R,当x>0时,图象是向下凸的,结合选项知选B.(2)(2013·淄博模拟)若a<0,则下列不等式成立的是(  )A.2a>a>(0.2)a    B.(0.2)a>a>2aC.a>(0.2)a>2aD.2a>(0.2)a>a解析:选B 若a<0,则幂函数y=xa在(0,+∞)上是减函数,所以(0.2)a>a>0.所以(0.2)a>a>2a.求二次函数的解析式典题导入[例2] 已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,

13、且它有最小值-1.(1)求f(x)解析式;15(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称,求g(x)解析式.[自主解答] (1)由于f(

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