2010高三数学高考导学练系列教案：不等式.doc

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1、不等式考纲导读1．理解不等式的性质及其证明．2．掌握两个（注意不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用．3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．4．掌握简单不等式的解法．5．理解不等式

2、a

3、－

4、b

5、≤

6、a＋b

7、≤

8、a

9、＋

10、b

11、．知识网络实数的性质不等式的性质均值不等式不等式的证明解不等式不等式的应用比较法综合法分析法反证法换元法放缩法判别式法一元一次不等式(组)一元二次不等式分式、高次不等式含绝对值不等式函数性质的讨论方程根的分布最值问题实际应用问题取值范围问题高考导航不等式部分的内容是高

12、考较为稳定的一个热点，考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用．高考试题中有以下几个明显的特点：1．不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明题．2．选择题，填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和综合题几乎都与不等式有关．用心爱心专心3．不等式的证明考得比较频繁，所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视．基础过关第1课时不等式的概念和性质1、实数的大小比较法则：设a，b∈R

13、，则a>b；a＝b；ab定理2（同向传递性）a>b，b>c定理3a>ba＋c>b＋c推论a>b，c>d定理4a>b，c>0a>b，c<0推论1(非负数同向相乘法)a>b≥0，c>d≥0推论2a>b＞0(nN且n>1)定理5a>b＞0(nN且n>1)典型例题例1.设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2

14、logx2，其中x＞0，x≠1．比较f(x)与g(x)的大小.解：(1)(x2－y2)(x＋y)＜(x2＋y2)(x－y)(2)aabb＞abba变式训练1：不等式log2x+3x2＜1的解集是____________.答案：{x

15、－＜x＜3且x≠－1,x≠0}。解析：：或。例2.设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比较f(x)与g(x)的大小.解：当0＜x＜1或x＞时，f(x)＞g(x)；用心爱心专心当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；当x＝时，f(x)＝g(x).变式训练2：若不等式(－1

16、)na＜2＋对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是.例3.函数＝ax2＋bx满足：1≤≤2，2≤≤4，求的取值范围．解：由f(x)＝ax2＋bx得f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2ba＝[f(1)＋f(－1)]，b＝[f(1)－f(－1)]则f(－2)＝2[f(1)＋f(－1)]－[f(1)－f(－1)]＝3f(－1)＋f(1)由条件1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4可得3×1＋2≤3f(－1)＋f(1)≤3×2＋4得f(－2)的取值范围是5≤f(－2)≤10.变式训练3：若1＜α＜3，－4＜β

17、＜2，则α－

18、β

19、的取值范围是.解：(－3，3)例4.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，当p、q满足p＋q＝1时，试证明：pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)对于任意实数x、y都成立的充要条件是o≤p≤1.证明：∵pf(x)＋qf(y)－f(px＋qy)＝pq(x－y)2＝p(1－p)(x－y)2充分性：当0≤p≤1时，≥0从而必要性：当时，则有≥0，又≥0，从而≥0，即0≤p≤1．综上所述，原命题成立．变式训练4：已知a＞b＞c，a＋b＋c＝0，方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根为x1、x2．(1)证明：－＜＜1；(2

20、)若x＋x1x2＋x＝1，求x－x1x2＋x；(3)求

21、x－x

22、．解：(1)∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴3a＞a＋b＋c，a＞b＞－a－b，∴a＞0，1＞∴－用心爱心专心(2)（方法1）∵a＋b＋c＝0∴ax2＋bx＋c＝0有一根为1，不妨设x1＝1，则由可得而，∴x2＝－1，∴(方法2)∵由＋，∴∵∴(3)由(2)知，∴，∴∴∴归纳小结1．不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论．注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系．2．使用“作差”比较，其变形

23、之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号．3．关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“A≥B(或B≤A)”．基础过关第2课时算术平均数与几何平均数1．a>0，