高考数学 改容易面 化归闯关.doc

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1、改容易面，化归闯关●计谋释义数学活动的实质就是思维的转化过程，把问题进行转化是解决问题的重要的方法，著名数学家、教育家G•波利亚在《怎样解题》一书中说道：“不断地变换你的问题，……，我们必须一再地变换它，重新叙述它、变换它，直到最后成功地找到有用的东西为止”．化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，应用化归转化思想解题应遵循三个原则：熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题；简单化原则，即将复杂问题转化为简单问题；直观化原则，即将抽象总是具体化。●典例示计【例1】已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1.求数列的通项公式及前

2、n项和Sn.【分析】这个数列既不是等差数列也不是等比数列，但又看到其中既含等差数列又含等比数列：比如把递推式中的常数1去掉，则变成等比数列，把系数2换成1则变成等差数列.为此，破题工作在化归上寻找入口：向等比（等差）数列转换。【解答】在递推式an+1=2an+1两边加1，化为(an+1+1)=2(an+1)，数列{an+1}为等比数列，公比q=2.所以an+1=2n-1(a1+1)，即an=2n-1，且Sn=2n-n-1.【评注】本题中我们把不熟悉的“等差比数列”化归到我们熟悉的等比数列来解.化归采用的办法是换元，实际上是an+1+c=bn+1=kbn，

3、说来也很滑稽，对中学生来讲，不向“等比（等差）”化归，还有什么别的出路呢？本题渗透了未知向已知转化的思想。【例2】已知a，b，c均为正整数，且a2+b2+c2+48<4a+6b+12c，求的值.【分析】将等式与不等式对应转化，是转化数学问题常用的、有效的手段.【解答】因为原不等式两边均为正整数，所以不等式a2+b2+c2+48<4a+6b+12c与不等式a2+b2+c2+48+1≤4a+6b+12c等价，这个等价不等式又可化为(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2+(c-6)2≤0,故【评注】等与不等的转化主要体现为化不等为相等及化等为不等。在等与不

4、等的矛盾转化中，基本不等式、函数的性质等常发挥着重要作用，它们是联系着等与不等的纽带，是等与不等矛盾差异间的内在联系。【例3】一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为（）A、B、C、D、【分析】若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选（A）。4【评注】从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，

5、不单打独斗。既要化整为零，又要聚零为整。【例4】已知数列()是首项为，公比为的等比数列。1）求和：；2）由（1）的结果归纳出关于正整数的一个结论，并加以证明。【分析】（1）（）同理可得：=猜想：【证明】==【评注】华罗庚说过：“善于退，足够地退，退到起始，而不失去重要地步，是学好数学的决窍。”对于表面上难于解决的问题，需要我们退步考虑，研究特殊现象，再运用分析归纳、迁移、演绎等手法去概括一般规律，使问题获解，这种转化在选择题及填空题中比较常见。【例5】对于抛物线上任意一点Q，如果点P（a，0）满足，则a的取值范围是（）A（－BCD【分析】依题意，点是抛物线上的

6、动点，点P是轴上的定点，而当求a的取值范围时，又考虑点P的可动性，把a看成是不等式的未知量来求解。【解答】设Q，则等价于不等式，即，对于任意实数y恒成立，从而a只要小于或等于的最小值，所以a，选B。【评注】运动与静止的相互转化普遍存在于客观世界中，从代数角度来看，动与静的转化相当于变量与常量的转化。动与静的转化是解题的重要策略之一，它包括化静为动，化动为静两个方面，适时的进行动静转化，常常会收到奇妙的效果。【例6】一个与球心距离为1的平面截球所得圆面面积为，则球的表面积为()4(A)(B)(C)(D)【分析】展示大圆的特征图是将空间的球问题平面化的重要途径．对

7、于球问题通常要抓住其特征Rt△来解决(即球半径、小圆半径及圆心距构成的直角三角形)．【解答】作出球的大圆截面图，由截面小圆的面积为，即r2＝，得r＝1．∴R＝＝．则＝4R2＝8，而选(B)．【评注】高维数的问题，如果向低维问题转化，问题往往变得简单、明了．由三维向二维空间转化，是研究立体几何问题的重要方法之一．此题将几何体的侧面展开，空间问题转化成平面问题来解决。在解答立几问题的过程中，还常用等积变换求有关几何体的体积或点到平面的距离；常用割补转化，改变几何体的状态，由复杂几何体变为简单几何体，同时，线线、线面、面面之间的垂直或平行的互相转化，贯穿于立体几何始

8、终；线线、点面、线面、面面之间的距离，