专题08 数列通项公式的求法-备战2020年高考数学规律方法专练.docx

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1、数列通项公式的求法求数列的通项公式，是数列问题中的一类重要题型，在数列学习和考试中占有很重要的位置，本专题就来谈谈数列通项公式的求法．一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式例1　由数列的前几项，写出通项公式：(1)3,5,3,5,3,5，…；(2)，，，，，…；(3)2，，，，，…；(4)，，，，，….【解析】(1)这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.所以它的一个通项公式为an＝4＋(－1)n，n∈N*.(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为an＝，n

2、∈N*.(3)数列可化为1＋1,2＋，3＋，4＋，5＋，…，所以它的一个通项公式为an＝n＋，n∈N*.(4)数列可化为，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.反思感悟　这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否为摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系．需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一．跟踪训练1　由数列的前几项，写出通项公式：(1)1，－7,

3、13，－19,25，…；(2)，，，，，…；(3)1，－，，－，….【解析】　(1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(6n－5)，n∈N*.(2)数列化为，，，，，…，分子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.(3)数列化为，－，，－，…，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1，n∈N*.[来源:Z,xx,k.Com]二、利用递推公式求通项公式命题角度1　累加、累乘例2　(1)数列{an}满足a1

4、＝1，对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式；(2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求an.【解析】　(1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)，[来源:Zxxk.Com]即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝，n≥2.又a1＝1也适合上式，∴an＝，n∈N*.(2)由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1，代入上式得(n－1)

5、个等式，累乘，即··…·＝×××…×(n≥2)．∴＝，又∵a1＝，∴an＝，n≥2.又a1＝也适合上式，∴an＝，n∈N*.【反思感悟】　形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下：第一步　将递推公式写成an＋1－an＝f(n)；第二步　当n≥2时，依次写出an－an－1，…，a2－a1，并将它们累加起来；第三步　得到an－a1的值，解出an；第四步　检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式．累乘法类似．跟踪训练2　数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，求

6、{an}的通项公式．【解析】　因为a1＝2，an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，n≥2，以上各式累加得，an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1，故an＝＋2＝2n，当n＝1时符合上式，所以an＝2n.命题角度2　预设阶梯转化为等差(比)数列例3　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明：数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解析】(1)证明　由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋

7、1)＝4(an－n)，n∈N*.因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．(2)解　由(1)，可知an－n＝4n－1，n∈N*，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n，n∈N*.反思感悟　课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学生证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深．跟踪训练3　(2018·江苏泰州泰兴中学月考)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n

8、∈N*)．(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解析】(1)证明　由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，整理得－＝3(n≥2)，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)解　由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝，n∈N*.命题角度3　构造等差(比)数列例4　已知