高中数学 2.2.2 向量的减法互动课堂学案 苏教版必修.doc

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1、高中数学2.2.2向量的减法互动课堂学案苏教版必修4疏导引导1.向量减法的定义（1）向量的减法实际上是加法的逆运算，已知向量a、b，（如右图）作=a，=b，则b+=a，向量叫做向量a与b的差，记作a-b，即=a-b=-.疑难疏引①如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.②一个向量等于它的终点，相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记为“终点向量减起点向量”，这里的点O是任意的一点.（2）相反向量的定义与向量a方向相反且等长的向量叫作a的相反向量，

2、记作-a.关于相反向量的结论有：①0的相反向量仍为0；②a+(-a)=(-a）+a=0;③-(-a)=a;④一个向量与它的相反向量是共线向量；⑤

3、a

4、=

5、-a

6、.（3）利用相反向量定义向量的减法在向量减法的定义中，b+=a.在上式中两边同时加上（-b），则=a+（-b）.即说明一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.a+（-b）通常省略加号.就是a-b.其实向量的差也就是向量的和.2.两个向量差的几何作法（1）两个向量的差也可由平行四边形法则和三角形法则求得.用平行四边形法则时，两个已知向量也是共同的起点，和向量

7、是始点与它们重合的那条对角线，而差向量是另外一条对角线，方向是从减向量指向被减向量;用三角形法则时，把减向量与被减向量的始点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点，可以简记为“连终点，方向指向被减”.（2）可以将两向量的差转化为求被减向量与减向量相反向量的和来求，即a-b=a+（-b），再用向量求和的三角形法则或平行四边形法则来求.3.两个重要的结论（1）以向量=a，=b为邻边作平行四边形AB，则两条对角线的向量为=a+b，=b-a，=a-b.（2）

8、

9、a

10、-

11、b

12、

13、≤

14、a±b

15、≤

16、a

17、+

18、b

19、案例已知两向量a、

20、b，求证：若

21、a+b

22、=

23、a-b

24、，则a的方向与b的方向垂直；反之也成立.【探究】要证明a的方向与b方向垂直，只需证明以a、b为邻边的平行四边形为矩形，即证两对角线长度相等即可.【证明】①若

25、a+b

26、=

27、a-b

28、，设=a，=b，以、为邻边作平行四边形，则

29、a+b

30、=

31、

32、，

33、a-b

34、=

35、

36、，又

37、a+b

38、=

39、a-b

40、，∴

41、

42、=

43、

44、，即平行四边形OACB的对角线相等，∴平形四边形OACB为矩形，∴a与b的方向垂直.②若a与b的方向垂直，如右图所示，设=a，=b，以、为邻边的平行四边形为矩形.∴

45、

46、=

47、

48、，而=a+b，=a-b，∴

49、

50、a+b

51、=

52、a-b

53、.规律总结此题的证明关键利用了两个向量和与差的几何意义，同时指出了平行四边形两对角线向量分别是邻边向量的和与差，本题求证的结论非常重要，应领会其实质.活学巧用【例1】如右图所示，O是平行四边形ABCD的对角线、的交点，设=a，=b，=c，试证明：b+c-a=.分析:要证b+c-a=，可转化为证明b+c=+a，从而利用向量求和证明.也可从c-a入手，利用向量的减法证明.证法一：因为b+c=+=+=，+a=+=OB.所以b+c=+a，即b+c-a=.证法二：因为c-a=-=-=+=，而=+=-b.所以c-

54、a=-b，即b+c-a=.【例2】化简下列各式：（1）-+--；（2）（-）-（-）；（3）.分析:本题是向量加减法的混合运算，应注意起点相同的两向量的差等于以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量，并且注意相反向量的使用.解：（1）-+--=--（+）=-0=.（2）（-）-（-）=（-）+-=++=+=0.（3）【例3】如右图，已知a、b，求作a-b.作法一：在平面内任取一点O，作=a，=b，则=-=a-b.（如图甲）本作法是按向量减法的三角形法则，将两向量的始点重合，则差向量是连起终点，方向指向被减向量.作法

55、二：在平面内任取一点O，作=a，OB=b，=-b，由向量加法的平行四边形法则可得：=+=-=a-b.（图乙）甲乙【例4】如图，ABCD中=a，=b，（1）用a、b表示、.（2）当a、b满足什么条件时，a+b与a-b的基线互相垂直？（3）当a、b满足什么条件时，

56、a+b

57、=

58、a-b

59、.（4）a+b与a-b有可能为相等向量吗？为什么？分析：本题主要考查向量的加、减法、向量的模与平行四边形的性质，解决本题应注意以a、b两向量为邻边的平行四边形的对角线向量为a与b的和与差，并结合平行四边形的分类，作出正确的解答.解：（1）=+=a

60、+b，=-=a-b.（2）由（1）知a+b=，a-b=.a+b与a-b的基线垂直，即⊥.又∵ABCD为平行四边形，∴ABCD为菱形，即a、b应满足

61、a

62、=

63、b

64、.（3）

65、a+b

66、=

67、a-b

68、，即

69、

70、=

71、

72、.∵矩形的对角线相等.∴当a与b的基线垂直时，满足

73、a+b

74、=

75、a-b

76、.（4）不可能，因为ABCD