高中数学 3.4 基本不等式（第2课时）学案 新人教A版必修.doc

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1、3.4　基本不等式:(第2课时)学习目标1.进一步掌握基本不等式(a>0,b>0).2.会用基本不等式解决简单最大(小)值问题.3.会应用基本不等式解决一些简单的实际问题.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短.最短的篱笆是多少?问题2:用长为4a的篱笆围成一个矩形菜园ABCD,怎样设计矩形菜园的长和宽,才能使所围成的菜园面积最大?二、信息交流,揭示规律师生交流1:解答这两道题使用的是什么数学工具?你是怎样想到的?这个式子使用时应该注意什么问题?你是直接使用的基本不等式

2、吗?我们前面学习了函数、数列等知识时,也用来解决过实际问题,用基本不等式解决实际问题的步骤是什么呢?三、运用规律,解决问题【例题】用长为4a的篱笆围成一个“日”字形菜地,一块种萝卜,另一块种茄子,如何设计才能使总面积最大?师生交流2:“日”字形菜地的总面积的表达式是什么?可以设几个变量?师生交流3:为什么写不下去了呢?那是不是不能用基本不等式求最值了呢?那怎么求最值呢?等号右边为什么不是定值呢?有没有办法解决这个问题呢?师生交流4:应用基本不等式求最值时,应满足什么条件?具体情形是怎样的?不满足定值时可采取什么办法?除取定值外,还必须满足什么条件?四、

3、变式训练,深化提高变式训练1:某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少?师生交流5:这个水池总造价的表达式是什么?水深为3m,容积为4800m3,池底面积为多少?池壁面积怎样用数学表达式表达?变式训练2:已知函数f(x)=x+.(1)当x<1时,f(x)的最大值为　　　　; (2)当x≥3时,f(x)的最小值为　　　　. 五、反思小结,观点提炼1.应用题解题的基本步骤是什么?2.使用基本不等式时,应注意满足什么条件?3.

4、用基本不等式求最值有几种类型?参考答案一、设计问题,创设情境问题1:解:设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则xy=100,所以矩形的周长l=2x+2y≥2=40.当且仅当x=y时,等号成立.又xy=100,所以当x=y=10时,lmin=40m.答:当矩形长、宽都为10m的正方形时,所用篱笆最短.最短的篱笆是40m.问题2:方法一:设矩形一边AB=x,则BC=2a-x,且x>0,2a-x>0,所以矩形的面积为S=x(2a-x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2.由此知当x=a时,S最大为a2.答:将菜地围成正方形时,面积最大为a2.方法二:由方法一得

5、出S=x(2a-x),因为=a,所以S≤a2,当且仅当x=2a-x,即x=a时,Smax=a2.答:将菜地围成正方形时,面积最大为a2.方法三:由方法一得出S=x(2a-x)≤=a2.下同方法二.方法四:设矩形的长为x,宽为y(x>0,y>0),则2x+2y=4a,即x+y=2a.面积S=xy≤=a2,当且仅当x=y,又x+y=2a,即x=y=a时,等号成立,Smax=a2.答:将菜地围成正方形时,面积最大为a2.师生交流1:;基本不等式;因为问题中涉及两个变量,这两个变量表达的条件和结论符合基本不等式的特征;等号成立的条件;问题2用到的是基本不等式的

6、变形公式和ab≤;设出两个变量,用变量表示条件和目标函数,求最值,作答)三、运用规律,解决问题师生交流2:面积=总长×宽;两个或一个.学生探究尝试:学生甲:设AB=x,则AD=,0

7、.此时AB=a,AD=.答:当长为a,宽为a时菜园总面积最大.方法三:设AB=x,AD=y,x>0,y>0,则2x+3y=4a,所以菜园的总面积S=xy=(2x)(3y)≤a2.当且仅当2x=3y时,等号成立.又2x+3y=4a,所以x=a,y=.此时AB=x,AD=.答:当长为a,宽为a时菜园总面积最大.师生交流4:必须有定值.和a+b为定值时,积ab有最大值;积ab为定值时,和a+b有最小值.配凑法.取等号的条件:当且仅当a=b时,.四、变式训练,深化提高师生交流5:总造价=池底单价×池底面积+池壁单价×池壁面积;1600m2;池壁面积=2×池底长

8、×高+2×池底宽×高.变式训练1:解:设底面的长为xm,宽为ym,水池的总造价为z元,根据题意