高中数学 第2章 推理与证明章末分层突破学案 苏教版选修.doc

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1、第2章推理与证明章末分层突破[自我校对]①由部分到整体,由个别到一般②类比推理③演绎推理④由一般到特殊⑤综合法⑥执果索因⑦反证法⑧数学归纳法_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2、______________________________合情推理1.归纳推理的特点及一般步骤2.类比推理的特点及一般步骤 (2016·温州月考)下面四个图案都是由小正三角形构成的,设第n个图形中有n个正三角形,且所有小正三角形边上黑点的总数为f(n).图21(1)求f(2),f(3),f(4),f(5);(2)找出f(n)与f(n+1)的关系,并求出f(n)的表达式.【精彩点拨】 (1)根据图案推导计算f(2),f(3),f(4),f(5)及它们之间的关系.(2)利用(1)推导出的关系归纳出f(n)与f(n+1)的关系,然后再求f(n)的表

3、达式.【规范解答】 (1)由题意有f(1)=3,f(2)=f(1)+3+3×2=12,f(3)=f(2)+3+3×4=27,f(4)=f(3)+3+3×6=48,f(5)=f(4)+3+3×8=75.(2)由题意及(1)知,f(n+1)=f(n)+3+3×2n=f(n)+6n+3,即f(n+1)-f(n)=6n+3,所以f(2)-f(1)=6×1+3,f(3)-f(2)=6×2+3,f(4)-f(3)=6×3+3,…,f(n)-f(n-1)=6×(n-1)+3,将上面n-1个式子相加,得f(n)-f(1)=6[1+2+3+…+(n-1)]+3(

4、n-1)=6×+3(n-1)=3n2-3,又f(1)=3,所以f(n)=3n2.[再练一题]1.已知函数y=sin4x+cos4x(x∈R)的值域是,则(1)函数y=sin6x+cos6x(x∈R)的值域是___________________;(2)类比上述结论,函数y=sin2nx+cos2nx(n∈N*)的值域是__________.【解析】 (1)y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=sin4x-sin2xcos2x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-3sin2x

5、cos2x=1-sin2(2x)=1-(1-cos4x)=+cos4x∈.(2)由类比可知,y=sin2nx+cos2nx的值域是[21-n,1].【答案】 (1) (2)[21-n,1]综合法与分析法1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题的常用的方法,综合法是由因导果的思维方式,而分析法的思路恰恰相反,它是执果索因的思维方式.2.分析法和综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条理清晰,易于表述,因此对于难题常把二者交互运

6、用,互补优缺,形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件. 设a>0,b>0,a+b=1,求证:++≥8.试用综合法和分析法分别证明.【精彩点拨】 (1)综合法:根据a+b=1,分别求+与的最小值.(2)分析法:把变形为=+求证.【规范解答】 法一:(综合法)∵a>0,b>0,a+b=1,∴1=a+b≥2,≤,ab≤,∴≥4.又+=(a+b)=2++≥4,∴++≥8(当且仅当a=b=时等号成立).法二:(分析法)∵a>0,b>0,a+b=1,要证++≥8,只要证+≥8,只要证+≥8,即证+≥4.也就是证+≥4.即证+≥2,由基本不等式可知,

7、当a>0,b>0时,+≥2成立,所以原不等式成立.[再练一题]2.(1)已知a,b,c为互不相等的非负数.求证:a2+b2+c2>(++).(2)用分析法证明:2cos(α-β)-=.【证明】 (1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,又因为a,b,c为互不相等的非负数,所以上面三个式子中都不能取“=”,所以a2+b2+c2>ab+bc+ac,因为ab+bc≥2,bc+ac≥2,ab+ac≥2,又a,b,c为互不相等的非负数,所以ab+bc+ac>(++),所以a2+b2+c2>(++).(2)要证原等式成立,只需证

8、:2cos(α-β)sinα-sin(2α-β)=sinβ,①因为①左边=2cos(α-β)sinα-sin[(α-β)+α]=2cos(α-β)si

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