高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、1．1.1～1.1.2　变化率问题　导数的概念平均变化率假设下图是一座山的剖面示意图，建立如图所示的平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量Δx，Δy分别是多少？提示：自变量x的改变量为Δx＝x2－x1，函数值的改变量为Δy＝y2－y1.问题2：能否根据Δy的大小

2、判断山路的陡峭程度？提示：不能．问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？提示：对山坡AB来说，＝可以近似地刻画．问题4：能用刻画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因表示A，B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比越大，山路越陡；反之，山路越缓．问题5：从A到B与从A到C，两者相同吗？提示：不相同．1．函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子称

3、为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为.2．平均变化率的几何意义设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如右图所示．对Δx，Δy的理解(1)Δx，Δy是一个整体符号，而不是Δ与x，y相乘．(2)x1，x2是定义域内不同的两点，因此Δ

4、x≠0，但Δx可正也可负；Δy＝f(x2)－f(x1)是Δx＝x2－x1相应的改变量，Δy的值可正、可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负，也可为零.导数的概念一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．问题1：试求质点在这段时间内的平均速度．提示：＝＝－6－3Δt.问题2：当Δt趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？提示：当Δt趋近于0时，趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．　　1．瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：若物体运动的路

5、程与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．2．导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是li＝li，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

6、x＝x0，即f′(x0)＝li＝li.导数概念的解读(1)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与Δx无关．(2)f′(x0)是一个常数，即当Δx→0时，存在一个常数与

7、无限接近．如果当Δx→0时，li不存在，则称函数f(x)在x＝x0处不可导．求函数的平均变化率　(1)已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)A．0.40　B．0.41C．0.43D．0.44(2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．　(1)选B　Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化

8、率为＝＝；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.因为＜，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1；(2)求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)求平均变化率＝.分别计算下面三个图象表示的函数h(t)在区间上的平均变化率．解：对于图①，Δh＝h(3)－h(0)＝10－0＝10，∴＝＝，即平均变化率为.同理可以算得图②、图③中函数h(t)在区间上的平均变化率均为.求函数在某点处的导数　(1)设函数

9、f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b(2)求函数f(x)＝在x＝1处的导数．　(1)选C　f′(x0)＝li＝li(a＋b·Δx)＝a.(2)由导数的定义知，函数在x＝1处的导数f′(1)＝li，而＝＝，又li＝，所以f′(1)＝.利用定义求导数的三步曲由导数的定义知，求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导