高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、3.4基本不等式：≤基本不等式[提出问题]问题1：若a，b∈R，则代数式a2＋b2与2ab有何大小关系？提示：∵(a2＋b2)－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.问题2：上述结论中，等号何时成立？提示：当且仅当a＝b时成立．问题3：若以，分别代替问题1中的a，b，可得出什么结论？提示：a＋b≥2.问题4：问题3的结论中，等何时成立？提示：当且仅当a＝b时成立．[导入新知]1．重要不等式当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正

2、数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．(3)变形：ab≤2，a＋b≥2(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．[化解疑难]1．基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则≠，即只能有＜.2．从数列的角度看，a，b的算术平均数是a，b的等差中项，几何平均数是a，b的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a与b的正的

3、等比中项不大于它们的等差中项．利用基本不等式证明不等式[例1]　已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.证明：由基本不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.[类题通法]1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将

4、“积”式转化为“和”式，从而收到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[活学活用]设a>0，b>0，证明：＋≥a＋b.证明：∵a>0，b>0，∴＋a≥2b，＋b≥2a，∴＋≥a＋b.利用基本不等式求最值[例2]　(1)已知m，n＞0，且m＋n＝16，求mn的最大值；(2)已知x＞3，求f(x)＝x＋的最小值；(3)设x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求＋的最小值．[解]　(1)∵m，n＞0且m＋n＝16，∴由基本不等式可得mn≤2＝2＝64，当且仅当m＝n＝8时，mn取得最大值64.(2)∵x＞3，

5、∴x－3＞0，＞0，于是f(x)＝x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当x－3＝即x＝5时，f(x)取得最小值7.(3)法一：∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1，∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即y＝x时，等号成立，解得x＝1－，y＝－1，∴当x＝1－，y＝－1时，＋有最小值3＋2.法二：＋＝·1＝(2x＋y)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，以下同法一．[类题通法]1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则．(1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件：a>0，b>0.(2)二定：化不等式

6、的一边为定值．(3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．[活学活用](1)已知lga＋lgb＝2，求a＋b的最小值；(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值；(3)已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值．解：(1)由lga＋lgb＝2可得lgab＝2，即ab＝100，且a＞0，b＞0，因此由基本不等式可得a＋b≥2＝2＝20，当且

7、仅当a＝b＝10时，a＋b取得最小值20.(2)∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，∴xy＝(2x·3y)≤·2＝·2＝，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取得最大值.(3)∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋9＝＋＋10.又∵x＞0，y＞0，∴＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立．由得即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.利用基本不等式解应用题[例3]　如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有36m长的钢筋网材

8、料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[解]　(1)设每间虎笼长为xm，宽为ym，则由条件得4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18，设每间虎笼面积为S，则S＝xy.由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立，由解