高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、一二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；·≥

2、ac＋bd

3、(a，b，c，d∈R)；·≥

4、ac

5、＋

6、bd

7、(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则

8、α·β

9、≤

10、α

11、·

12、β

13、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．　柯西不等式的向量形式中α·β≤

14、α

15、·

16、β

17、，取等号的条件是β＝0或存在实数k，使α＝k

18、β.3．二维形式的三角不等式(1)定理3：x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥.(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有＋≥.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有

19、P1P3

20、＋

21、P2P3

22、≥

23、P1P2

24、，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．利用柯西不等式证明不等式　　　设＋＝1，求证：x2＋y2≥(m＋n)2.　可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，然后用柯西不等式证明．　∵＋＝1，∴x2＋y2＝(x2＋y2

25、)≥2＝(m＋n)2.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：

26、ax＋by

27、≤1.证明：由柯西不等式，得(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1，∴

28、ax＋by

29、≤1.2.已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.证明：(a1b1＋a2b2)＝≥2＝(a1＋a2)2.3．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．证明：由柯西不等式，得·≥a＋b，即·≥a＋b.同理·≥b＋c，·≥a

30、＋c，将上面三个同向不等式相加，得≥2(a＋b＋c)，∴＋＋≥·(a＋b＋c).利用柯西不等式求最值　求函数y＝3sinα＋4cosα的最大值．　函数的解析式是两部分的和，若能化为ac＋bd的形式就能用柯西不等式求其最大值．　由柯西不等式，得(3sinα＋4cosα)2≤(32＋42)(sin2α＋cos2α)＝25，∴3sinα＋4cosα≤5.当且仅当＝>0，即sinα＝，cosα＝时取等号，即函数的最大值为5.利用柯西不等式求最值(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和

31、为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．4．已知2x2＋y2＝1，求2x＋y的最大值．解：2x＋y＝×x＋1×y≤×＝×＝.当且仅当x＝y＝时，等号成立．∴2x＋y的最大值为.5．已知2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．解：∵(4x2＋9y2)(22＋22)≥(4x＋6y)2＝4，∴4x2＋9y2≥.当且仅当2×2x＝3y×2，即2x＝3y时，等号

32、成立．又2x＋3y＝1，得x＝，y＝，故当x＝，y＝时，4x2＋9y2的最小值为.6．求函数f(x)＝＋的最大值及此时x的值．解：函数的定义域为，由柯西不等式，得(＋)2≤(12＋12)＝2(x－6＋12－x)＝12，即＋≤2.故当＝时，即x＝9时，函数f(x)取得最大值2.课时跟踪检测(九)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为(　　)A．4　　　　　　　　　B．2C．1D.解析：选A　＝·≥2＝2＝22＝4.2．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是(　　)A．B．C．D．(－，)解析：选A　(a

33、2＋b2)≥(a－b)2，∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.∴－2≤a－b≤2.3．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是(　　)A.B.C.D.解析：选B　(2x2＋3y2)≥(x＋y)2＝[(x＋y)]2＝6，当且仅当x＝，y＝时，等号成立，即2x2＋3y2≥.4．函数y＝＋2的最大值是(　　)A.B.C．3D．5解析：选B　根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝，当且仅当x＝时，等号成立．5．设xy>0，则·的最小值为________．解析：原式＝≥2＝9(当且仅当xy＝时，等号成立