高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程学案 新人教B版选修.doc

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1、2.3.1 双曲线的标准方程1.了解双曲线的定义及焦距的概念.2.了解双曲线的几何图形、标准方程.(重点)3.能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程.(重点)[基础·初探]教材整理1 双曲线的定义阅读教材P49前3自然段,完成下列问题.平面内与两个定点F1,F2的距离的________等于常数(小于

2、F1F2

3、且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这________叫做双曲线的焦点,________叫做双曲线的焦距.【答案】 差的绝对值 两个定点 两焦点的距离判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中,a,b,c之间的关系同椭圆中a,b,

4、c之间的关系相同.(  )(2)点A(1,0),B(-1,0),若

5、AC

6、-

7、BC

8、=2,则点C的轨迹是双曲线.(  )(3)在双曲线标准方程-=1中,a>0,b>0,且a≠b.(  )【答案】 (1)× (2)× (3)×教材整理2 双曲线的标准方程阅读教材P49第4自然段~P50“思考与讨论”,完成下列问题.焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程______(a>0,b>0)______(a>0,b>0)焦点F1________,F2________F1________,F2________a,b,c的关系c2=________【答案】 -=1 -=1 (-c,0) 

9、(c,0) (0,-c) (0,c) a2+b2若方程-=1表示双曲线,则实数m满足(  )A.m≠1且m≠-3  B.m>1C.m<-或m>D.-3<m<1【解析】 因为方程-=1表示双曲线,而m2+1>0恒成立,所以m2-3>0,解得m<-或m>,故选C.【答案】 C[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:________________________________________________________解惑:____________________________________________________

10、____疑问2:________________________________________________________解惑:________________________________________________________疑问3:________________________________________________________解惑:________________________________________________________[小组合作型]双曲线定义的应用 已知双曲线的方程是-=1,点P在双曲线上,且到其中一个焦

11、点F1的距离为10,点N是PF1的中点,求

12、ON

13、的大小(O为坐标原点).【精彩点拨】 利用中位线定理,结合双曲线定义解题.【自主解答】 因为ON是△PF1F2的中位线,所以

14、ON

15、=

16、PF2

17、.因为

18、

19、PF1

20、-

21、PF2

22、

23、=8,

24、PF1

25、=10,所以

26、PF2

27、=2或

28、PF2

29、=18,故

30、ON

31、=1或

32、ON

33、=9.在双曲线的定义中,注意三个关键点:①在平面内;②差的绝对值;③定值且定值小于两定点间距.在这三个条件中,缺少一个条件,其动点轨迹也不是双曲线.[再练一题]1.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则

34、P

35、F1

36、+

37、PF2

38、的值为________.【导学号:】【解析】 由双曲线的方程可知a=1,c=,∴

39、

40、PF1

41、-

42、PF2

43、

44、=2a=2,∴

45、PF1

46、2-2

47、PF1

48、

49、PF2

50、+

51、PF2

52、2=4,∵PF1⊥PF2,∴

53、PF1

54、2+

55、PF2

56、2=(2c)2=8,∴2

57、PF1

58、

59、PF2

60、=4,∴(

61、PF1

62、+

63、PF2

64、)2=8+4=12,∴

65、PF1

66、+

67、PF2

68、=2.【答案】 2求双曲线的标准方程 根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)过点P,Q且焦点在坐标轴上;(2)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上.【精彩点拨】 (1)所求双曲线的焦点位置不确定,怎样求解?(2

69、)已知半焦距时,如何设双曲线的标准方程?【自主解答】 (1)设双曲线方程为+=1(mn<0).∵P,Q两点在双曲线上,∴解得∴所求双曲线的方程为-=1.(2)∵焦点在x轴上,c=,∴设所求双曲线的方程为-=1(0<λ<6).∵双曲线过点(-5,2),∴-=1,解得λ=5或λ=30(舍去),∴所求双曲线的方程为-y2=1.1.求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型,并设出标准方程;(2)求出a2,b2的值.2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时,需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,特别地,当已知双曲线经过两个点时,可设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB<0

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