高中数学 第二章 基本初等函数（1） 2.3 幂函数学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、2.3幂_函_数幂函数的概念[提出问题]问题1：函数y＝2x，y＝x3是指数函数吗？提示：y＝2x是指数函数，而y＝x3不是指数函数．问题2：函数y＝x3中自变量有什么特点？提示：自变量在底数的位置．问题3：再举出几个这样的函数．提示：y＝x2，y＝x，y＝x－1.[导入新知]一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．[化解疑难]1．幂函数的特征(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)；(2)xα前的系数为1，且只有一项．2．指数函数与幂函数的辨析指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的底

2、数a为常数，指数为自变量；幂函数y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数α为常数.幂函数的图象与性质[提出问题]问题1：在同一坐标系中，试作出幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象．提示：如图所示：问题2：在第一象限，图象有何特点？提示：都过点(1,1)；只有y＝x－1随x增大而减小，但不与x轴相交，其他的都随x增大而增大．问题3：这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？提示：y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数；y＝x2是偶函数；y＝x是非奇非偶函数．[导入新知]常见幂函数的图象与性质解析式

3、y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1y＝x图象定义域RRR{x

4、x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y

5、y≠0}[0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减在[0，＋∞)上单调递增定点(1,1)[化解疑难]幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特

6、别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．幂函数的概念[例1]　(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　)A．1　　　　　　　B．2C．3D．4(2)已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出定

7、义域．[解]　(1)选B　②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.(2)∵y＝(m2－m－1)x为幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y＝x－3(x≠0)或y＝x0(x≠0)．[类题通法]判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，

8、且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．[活学活用]函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解：根据幂函数的定义得m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3.幂函数的图象[例2]　(1)如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象

9、，已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为(　　)A．－2，－，，2B．2，，－，－2C．－，－2,2，D．2，，－2，－(2)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)A．－11D．n<－1，m>1[解析]　(1)令x＝2，则22>2>2>2－2，故相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为2，，－，－2.故选B.(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”

10、．如图，0