高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学案（含解析）新人教A版必修.doc

《高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学案（含解析）新人教A版必修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2．2.3　向量数乘运算及其几何意义向量的数乘运算　　[提出问题]问题1：按照向量的加法法则，若a为非零向量，则a＋a的长度与

2、a

3、的关系怎样？提示：按三角形法则，

4、a＋a

5、＝2

6、a

7、.问题2：我们知道，x＋x＋x＝3x，那么a＋a＋a能否写成3a呢？提示：可以．问题3：3a与a的方向有什么关系？－3a与a的方向呢？提示：3a与a方向相同．－3a与a方向相反．[导入新知]1．向量数乘运算一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：(1)

8、λa

9、＝

10、λ

11、

12、a

13、；(2

14、)λa(a≠0)的方向特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ00.2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.[化解疑难]从两个角度看数乘向量(1)代数角度：λ是实数，a是向量，它们的积仍是向量；另外，λa＝0的条件是λ＝0或a＝0.(2)几何角度：对于向量的长度而言，①当

15、λ

16、>1时，有

17、λa

18、>

19、a

20、，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向

21、(λ<－1)上伸长到

22、a

23、的

24、λ

25、倍；②当0<

26、λ

27、<1时，有

28、λa

29、<

30、a

31、，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到

32、a

33、的

34、λ

35、倍.共线向量定理[提出问题]问题1：如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况？提示：方向相同或方向相反或其中一者为零向量．问题2：根据向量的数乘运算，λa与a(λ≠0，a≠0)的方向有何关系？提示：相同或相反．问题3：向量a与λa(λ为常数)共线吗？提示：共线．[导入新知]1．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，

36、使b＝λa.2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.[化解疑难]共线向量定理中规定a≠0的原因(1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；(2)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa；(3)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.向量的线性运算[例1]　化简下列各式：(1)3(6a＋b)－9；(2)－2；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.[解]　(1)原式＝18a＋3b－9

37、a－3b＝9a.(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.[类题通法]向量线性运算的方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．[活学活用]化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2).答案：(1)14a－9b　(2)－2a＋4b在几何图形中用已知向量表示未知向量[例2]　如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是D

38、E，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.[解]　由三角形中位线定理，知DE綊BC，故＝，即＝a，＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b，＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b.[类题通法]用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．[活学活用]1.如图所示，下列结论正确的是(　　)①＝a＋b；②＝a－b；③＝a－b；④＝a＋b.A．①②　　　　　　　B．③④C

39、．①③D．②④答案：C2．如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，.答案：＝a＋b；＝(a＋b)；＝a－b共线向量定理的应用[例3]　(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．[解]　(1)证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，∴＝－＝e1－4e2.又∵＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴＝2，∴

40、∥.∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵A，B，P三点共线，∴向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ，使＝λ，即－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.[类题通法]用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．(