高中数学 第二章 平面向量 2.5 向量的应用学案 苏教版必修 .doc

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1、2.5　向量的应用[学习目标]　1.能运用平面向量的知识解决一些简单的几何问题与简单的物理问题.2.掌握两种基本方法——选择基向量法和建系坐标法.3.通过对一些典型问题的研究和讨论，进一步复习巩固平面向量的基础知识、基本方法．[知识链接]1．向量可以解决哪些常见的几何问题？答　(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系．(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？答　(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通

2、过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．[预习导引]1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：

3、a

4、＝.2．向量方法在物理中的应用(1)力、

5、速度、加速度、位移都是向量．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是数乘向量．(4)功即是力F与所产生位移s的数量积.要点一　向量在平面几何中的应用例1　如图，已知O为△ABC所在平面内一点，且满足

6、

7、2＋

8、

9、2＝

10、

11、2＋

12、

13、2＝

14、

15、2＋

16、

17、2，求证：O为△ABC的垂心．证明　设＝a，＝b，＝c，则＝c－b，＝a－c，＝b－a，由题设：

18、

19、2＋

20、

21、2＝

22、

23、2＋

24、

25、2＝

26、

27、2＋

28、

29、2，化简：a2＋(c－b)2＝b2＋(a－c)2＝c2＋(b－a)2，得c·b＝a·c＝b·a，从而·＝(b

30、－a)·c＝b·c－a·c＝0，∴⊥.同理⊥，⊥，所以O为△ABC的垂心．规律方法　垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的内积为零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的内积运算式使问题获解．跟踪演练1　如图，点O是△ABC的外心，E为三角形内一点，满足＝＋＋，求证：⊥.证明　∵O为外心，∴

31、

32、＝

33、

34、.∵＝－，＝－＝(＋＋)－＝＋，∴·＝(＋)·(－)＝

35、

36、2－

37、

38、2＝0，即·＝0.故⊥.要点二　向量在平面解析几何中的应用例2　已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F

39、分别为边BC、CA、AB的中点．(1)求直线DE、EF、FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线方程．解　(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)．∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则⊥.∴·＝0.又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)．∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4

40、＝0为所求直线CH的方程．规律方法　对于解析几何中有关直线平行与垂直问题常可转化为考虑与直线相关的向量的共线与垂直，将形转化为数，使问题容易解决．跟踪演练2　已知点A(2，－1)．(1)求过点A与向量a＝(5,1)平行的直线方程；(2)求过点A与向量a＝(5,1)垂直的直线方程．解　(1)设所求直线上任一点P(x，y)，则＝(x－2，y＋1)．由题意知∥a，即(x－2)－5(y＋1)＝0，即x－5y－7＝0.故过点A与向量a＝(5,1)平行的直线方程为x－5y－7＝0.(2)设所求直线上任一点P(x，y)，则＝(x－2，y＋1)．由题意知，⊥a，即·

41、a＝0，即5(x－2)＋(y＋1)＝0，即5x＋y－9＝0.故过点A与向量a＝(5,1)垂直的直线方程为5x＋y－9＝0.要点三　向量在物理中的应用例3　如图所示，两根绳子把重1kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g＝10N/kg)．解　设A、B所受的力分别为f1、f2，10N的重力用f表示，则f1＋f2＝f，以重力的作用点C为f1、f2、f的始点，作图如图，使＝f1，＝f2，＝f，则∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.∴

42、

43、＝

44、

45、

46、·cos30°＝10×＝5.

47、

48、＝

49、

50、·cos60°＝10×＝5.所以，A处所受的力为5N，B处所受的力为5