高中数学 第四章 圆与方程 4.2.1 直线与圆的位置关系学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、4.2.1　直线与圆的位置关系1．理解直线与圆的三种位置关系．(重点)2．会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．(重点)3．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(易错点、难点)[基础·初探]教材整理　直线与圆的位置关系的判定阅读教材P126～P128“练习”以上部分，完成下列问题．直线与圆的位置关系的判定位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝d＜rd＝rd＞r代数法：由消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0图形直线3x＋4y－5＝0与圆x

2、2＋y2＝1的位置关系是(　　)A．相交　B．相切C．相离D．无法判断【解析】　圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1，又圆x2＋y2＝1的半径r＝1，∴d＝r，故直线与圆相切．【答案】　B[小组合作型]直线与圆的位置关系的判定　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．【精彩点拨】　可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可求出圆心到直线的距离，通过与半径比较判断．【

3、自主解答】　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简、整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径r＝2.圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝

4、.当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．直线与圆的位置关系的判断方法1．几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．[再练一题]1．已知圆C的

5、方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求：当m为何值时，(1)直线平分圆；(2)直线与圆相切；(3)直线与圆有两个公共点．【解】　(1)因为直线平分圆，所以圆心(1,1)在直线y＝x＋m上，故有m＝0.(2)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以d＝＝＝2，m＝±2，即m＝±2时，直线l与圆相切．(3)直线与圆有两公共点，d＜r，即＜2，所以－2＜m＜2时有两个公共点．直线与圆相切的有关问题　过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，

6、求此切线的方程.【精彩点拨】　利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程．【自主解答】　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A在圆外．(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以＝1，即

7、k＋4

8、＝，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即15x＋8y－36＝0.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时

9、直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.过一点的圆的切线方程的求法1．当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．2．若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．[再练一题]2．求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．【解】　由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)

10、，即kx－y－k－7＝0.∴＝5，解得k＝或k＝－.∴所求切线方程为y＋7＝(x－1)或y＋7＝－(x－1)，即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.[探究共研型]圆的弦长问题探究1　已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？【提示】　将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用

11、AB

12、＝求弦长．探究2　若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？【提示】　通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l＝2.　求直线l：3x＋y－6＝0被圆