高中数学第三章直线与方程3.2.1直线的点斜式方程学案含解析新人教A版必修2.doc

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1、3．2.1　直线的点斜式方程点斜式、斜截式　　[提出问题]如图，过点A(1,1)作直线l.问题1：试想直线l确定吗？提示：不确定．因为过一点可画无数条直线．问题2：若直线l的倾斜角为45°，直线确定吗？提示：确定．问题3：若直线l的斜率为2，直线确定吗？提示：确定．[导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x

2、＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)

3、的一条直线．(3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零.直线的点斜式方程[例1]　(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________________．(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程

4、为________________．(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________________．[答案]　(1)x＝－5　(2)y－4＝－(x－3)　(3)2x－y＝0[类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.[活学活用]若直线l过点(2,1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x轴；(3)平行于y轴；(4)过原点．

5、解：(1)直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以由点斜式方程得y－1＝－1×(x－2)，即方程为x＋y－3＝0.(2)平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1.(3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x＝2.(4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k＝，故所求的直线方程为y＝x.直线的斜截式方程[例2]　(1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________________．(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上

6、的截距相同，求直线l的方程．[解]　(1)y＝－x－3(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，∴l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.[类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]　写出下列直

7、线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.解：(1)y＝3x－3.(2)∵k＝tan60°＝，∴y＝x＋5.(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)，∴k＝＝，∴y＝x－2.两直线平行与垂直的应用[例3]　当a为何值时，(1)两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？(2)两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？[解]　(1)设两直线的斜率分别为

8、k1，k2，则k1＝a，k2＝a＋2.∵两直线互相垂直，∴k1k2＝a(a＋2)＝－1，解得a＝－1.故当a＝－1时，两条直线互相垂直．(2)设两直线的斜率分别为k3，k4，则k3＝－1，k4＝a2－2.∵两条直线互相平行，∴解得a＝－1.故当a＝－1时，两条直线互相平行．[