高二数学平面的基本性质以及平行直线和异面直线.doc

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1、高二数学平面的基本性质以及平行直线和异面直线一、教学重点和难点:1.认真体会平面是无限延展的,它无大小之分,仅有位置上的区别;2.三个公理及三个推论在运用上的各自分工;3.正确理解异面直线的概念,并能够利用平移法作出异面直线所成的角;4.难点是养成良好的空间作图习惯和思维方法,特别是集合符号的合理利用。二、知识精讲:1.平面的概念:(1)平面是一个只描述不定义的基本概念。具体的例如:桌面、黑板面、平静的水面,我们可以认识到“平面”是绝对平坦,没有厚度,没有边界无限延展的一个理想的几何图形。(2)记为:,平面ABCD或平面AC。(3)画多个平面时,一个平面被另一个平面遮住的线段要画成虚线或不画

2、。(4)图形语言为: 2.(1)公理1:图形语言          符号语言:(2)公理2:图形语言          符号语言:(3)公理3:图形语言         符号语言:A、B、C不共线存在唯一平面使得 3.推论:(推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面)     已知:直线a、b且.    求证:过a、b有且只有一个平面.     证法一:①存在性     在直线a、b上分别取不同于点P的点A、B,     则点A、B、P是不共线的三点(否则与a、b是两条相交直线矛盾).     根据公理3,过A、B、P三点有一个平面.     ,即.     同理,因此过直线a、b有平面.②

3、唯一性 ∵经过直线a、b的平面一定经过点A、B、P,根据公理3,经过不共线的三点A、B、P的平面只有一个,∴经过a、b的平面只有一个.由①、②,可知经过两条相交直线有且只有一个平面.  推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.  已知:直线a、b且a//b.  求证:经过a、b有且只有一个平面.  证明:①存在性  ∵a//b,由平行线的定义,a、b在同一平面内,  ∴过直线a、b有一个平面.  ②唯一性  在直线b上任取一点B,  则(否则与a//b矛盾),且B、a在过a、b的平面内.  又由推论1,过点B和直线a的平面只有一个,  ∴过直线a、b的平面只有一个.  由①、②,可知经过两

4、条平行直线的平面有且只有一个. 4.空间两直线的位置关系:名 称含 义符号表示图 示相交直线有且仅有一个公共点平行直线在同一个平面内,没有公共点异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点且(2)两条异面直线所成的角. 5.集合符号的利用:点A在平面内,记作,否则点A在直线l上,记作,否则直线l在平面内,记作,否则直线l1与l2相交于A点,记作三、典型范例1.平面的概念:例1.判断下列说法是否正确?并说明理由: (1)平等四边形是一个平面.   (2)任何一个平面图形都是一个平面.(3)在空间图形中,原图中的线都要画成实线,后补画的线都画成虚线.(4)用平行四边形表示的平面,以四边为边界. 解:

5、(1)不正确,平面是无限延展的,而平行四边形是有限的,它只是平面的一部分.(2)不正确,平面图形和平面是完全不同的概念,平面图形有的(如角)也可以无限延展,但不可能向四周无限延展.(3)不正确,空间图形中把被平面遮住的线段画成虚线(无论原先有的还是后来画的辅助线).(4)不正确,平面是没有边界的.2.共点、共线、共面问题: 例2.四条直线两两相交且任何三条都不交于一点,则这四条直线共面.分析:说明四条直线共面,必须先找到一个平面,再想办法说明这四条直线都在这个平面内.已知:如图a、b、c、d两两相交且任何三条不交于一点,求证:a、b、c、d共面.证法一:,确定一个平面(推论2).   ,  

6、,即(公理1).  同理.   共面.点拨:证明直线(或点)共面,一般先由其中的一部分或点确定一个平面,再由公理1,公理3及其推论证明其余的直线或点也在这个平面内. 例3.已知:四边形ABCD,AB//CD,直线AB、BC、CD、DA交平面于E、G、F、H,求证:E、F、G、H四点共线.证明:如图9-1-6.   ∵AB//CD,∴AB、CD确定平面.   ∵E、F、G、H分别在直线AB、CD、BC、AD上,∴E、F、G、H都在内.图9-1-6   又∵E、F、G、H都在内,不是同一个平面且有交点,   有且只有一条交线l,即.   ∴E、F、G、H,即E、F、G、H共线.点拨:公里2中两个

7、平面的交线是由这两个平面中所有公共点组成的集合,因此公理2往往用来证明多点共线问题,也常常用来证明像下例中的多线共点问题. 例4.如图9-1-7,E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD、BC、CD上的点,且直线EF和GH交于一点,求证:EF、BD、GH交于一点.证明:设EF,GH交于一点P, 直线EF,则平面ABD.   直线GH,则平面CBD.图9-1-7   平面平面CBD=直线BD.   

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