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《排列组合中分组(分堆)与分配问题.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、太奇MBA数学助教李瑞玲一．分组（分堆）与分配问题将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，又分为定向分配和不定向分配两种问题。将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。分组问题有不平均分组，平均分组，部分平均分组三情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使两组的元素个数相同，但因所要分配的对象不同，仍然是可区分的。对于后者必须先分组后排列。一．基本的分组问题例1.六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每组两本（均分三组）（平均分组问题）（2）一
2、组一本，一组两本，一组三本（不平均分组问题）（3）一组四本，另外两组各一本（部分平均分组问题）分析：（1）分组和顺序无关，是组合问题。分组数为222CCC=90,642而这90种分组方法实际上重复了6次。现把六本不同的书标上1,2,3,4,5,6六个号码，先看一下这种情况：（1,2）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6)(3,4)(3,4)(1,2）（5,6）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6）（1,2）（3,4）（5,6）（3,4）（1,2）由于书是均匀分组的，三组的本数都一样，又与顺序无关，所以这种情况下这六种分法是同一种分法，于是可知重复
3、了6次。以上的分组实际上加入了组的顺序，同理其他情况也是如此，因此还应取消分组222的顺序，即除以3C6C4C290P,于是最后知分法为==15.33P63(2)先分组，分组方法是1233CCC=60，那么还要不要除以P???（很6533关键的问题）由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有123CCC=60。653（3）先分组，分组方法是411CCC=30，这其中有没有重复的分法???(需621要好好考虑）现还把六本不同的书标上1,2,3,4,5,6六个号码，先看以下情况1）先取四本分一组，剩下的两本，一本一组，情况如下（1,2,
4、3,4）56（1,2,3,4）652）先取一本分一组，再取四本分一组，剩余的一本为一组，情况如下5（1,2,3，4）66（1,2,3,4）53）先取一本分一组，再取一本为一组，剩下的四本为一组，情况如下56（1,2,3,4）65（1,2,3,4）由此可知每一种分法重复了2次，原因是其中两组的的书的本数都是一本，这两组有了顺序，需要把分组的顺序取消掉，而四本的那一组，由于书的本数不一样，不可重复，故最后的结果为411CCC30621==15.2P22通过以上三个小题的分析，可以得出分组问题的一般结论如下：一般地，将n个不同的元素分成p组，各组内元素个数
5、分别为m,m,⋯,m，其中k组内元素个数相等，那么分组方法数为12pCm1Cm2⋯Cmi⋯Cmpnn−m1n−(m1+m2+⋯+mi−1)mpk，即选完元素后要除以元素相同Pk的总组数的全排列！三．基本的分配问题1.定向分配问题例2六本不同的书，分给甲乙丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分法？（1）甲两本，乙两本，丙两本（2）甲一本，乙两本，丙三本（3）甲四本，乙一本，丙一本分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，属于分配问题中的定向分配问题。由分步计数原理得（1）222123411CCC=90(2)CCC=60(3)CCC=306426536
6、212.不定向分配问题例3.六本不同的书，分给甲乙丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分法？（1）每人两本（2）一人一本，一人两本，一人三本（3）一人四本，一人一本，一人一本分析：此题属于分配中的不定向分配问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作是“六本不同的书分为三组，再将这三组分给甲乙丙三人”，因此只要将元素的分组的方法数再乘以所分配对象的全排列即可！222所以有（1）C6C4C23×P=9033P3（2）1233CCC×P=3606533411(3)C6C2C13×P=9023P2结论：一般地，如果把
7、n个不同的元素分配给k个不同的对象，并且每个不同的对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，结果为分组方案数乘以不同对象数的全排列。解不定向分配题的一般原则是：先分组后排列！数学讲义上第95页排列组合本章作业第4题属于不定向分配问题（需要先分组，再分配，其中分组为不平均分组）结果为1233CCC×P=360,故选B。6533第5题属于定向分配问题，所以为123CCC=60,故选D。653第6题属于不定向分配问题（需要先分组，再分配，其中分组为平均222分组）结果为C6C4C23×P=90，故选C。33P3第28题也属于不定向分配问
8、题，同第6题，结果为444C12C8C43444×P=CCC,故选A。331284P3元素种类（1）元素相同
