小波变换_完美通俗解读.pdf

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1、小波变换完美通俗解读要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换

2、的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果

3、是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvectorbasis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵(Tv_n=av_n，a是eigenvalue)。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。傅立叶级数最早是JosephFourier这个人提出的，他发现，这个bas

4、is不仅仅存在与vectorspace，还存在于functionspace。这个functionspace本质上还是一个linearvectorspace，可以是有限的，可以是无限的，只不过在这个空间里，vector就是function了，而对应的标量就是实数或者复数。在vectorspace里，你有vectorv可以写成vectorbasis的线性组合，那在functionspace里，functionf(x)也可以写成对应functionbasis的线性组合，也有norm。你的vectorbasis可以是正交的，我的function

5、basis也可以是正交的（比如sin(t)和sin(2t)）。唯一不同的是，我的functionbasis是无穷尽的，因为我的functionspace的维度是无穷的。好，具体来说，那就是现在我们有一个函数，f(x)。我们希望将它写成一些cos函数和一些sin函数的形式，像这样again，这是一个无限循环的函数。其中的1，cosx,sinx,cos2x…..这些，就是傅立叶级数。傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是它们这帮子functionbasis是正交的，这就是有趣的地方了。为什么functionbasis正交如此重要呢？我们

6、说两个vector正交，那就是他俩的内积为0。那对于functionbasis呢？functionbasis怎么求内积呢？现在先复习一下vector正交的定义。我们说两个vectorv,w如果正交的话，应符合：那什么是function正交呢？假设我们有两个函数f(x)和g(x)，那是什么？我们遵循vector的思路去想，两个vector求内积，就是把他们相同位置上对应的点的乘积做一个累加。那移过来，就是对每一个x点，对应的f和g做乘积，再累加。不过问题是，f和g都是无限函数阿，x又是一个连续的值。怎么办呢？向量是离散的，所以累加，函数是

7、连续的，那就是…….积分！我们知道函数内积是这样算的了，自然也就容易证明，按照这个形式去写的傅立叶展开，这些级数确实都是两两正交的。证明过程这里就不展开了。好，下一个问题就是，为什么它们是正交basis如此重要呢？这就牵涉到系数的求解了。我们研究了函数f，研究了级数，一堆三角函数和常数1，那系数呢？a0,a1,a2这些系数该怎么确定呢？好，比如我这里准备求a1了。我现在知道什么？信号f(x)是已知的，傅立叶级数是已知的，我们怎么求a1呢？很简单，把方程两端的所有部分都求和cosx的内积，即：然后我们发现，因为正交的性质，右边所有非a1项

8、全部消失了，因为他们和cosx的内积都是0！所有就简化为这样，a1就求解出来了。到这里，你就看出正交的奇妙性了吧:)好，现在我们知道，傅立叶变换就是用一系列三角波来表示信号方程的展开，这个信号可以是连续的，