2019高考数学（理科）大题规范练四 Word版含解析.doc

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1、大题规范练(四)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1．(本题满分12分)已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足＝，B为锐角．(1)求角A的大小；(2)若a＝2，c＝1，△ABC内有一点M，∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝，求MA＋MB＋MC的值．解：(1)由＝，得cosAcosB＋cosAsinC＝sinBsinA－cosCsinA，sin(A＋C)＝－cos(A＋B)，即sinB＝cosC＝sin，∴B＝－C或B＋－C＝π，∴B＋C＝或B－C＝(与B为锐角矛盾，舍

2、去)，∴B＋C＝，A＝.(2)如图，设∠MAB＝θ，则∠MBA＝－θ，由A＝，a＝2，c＝1，得B＝，∴∠MBC＝θ，∴△AMB∽△BMC，∴＝＝2，∴BM＝2AM，CM＝2BM，在△AMB中，由余弦定理得，AM2＋(2AM)2－2AM·2AMcos＝AB2＝1，得AM＝，则BM＝，CM＝，∴MA＋MB＋MC＝.2．(本题满分12分)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，AA1＝AD＝2AB＝2，∠A1AD＝60°，M，N分别是BC，AD1

3、的中点．(1)求证：直线MN∥平面CC1D1D；(2)求平面A1CD与平面DCD1夹角的余弦值．解：(1)如图，取DD1的中点T，连接NT，TC，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形AA1D1D为平行四边形，因为N，T分别为AD1，DD1的中点，所以NT∥AD，NT＝AD.因为四边形ABCD为矩形，M为BC的中点，所以CM∥AD，CM＝AD，∴CM綊NT，所以四边形CMNT为平行四边形，所以MN∥CT，又MN⊄平面CC1D1D，CT⊂平面CC1D1D，所以直线MN∥平面CC1D1D.(2)取

4、AD的中点O，连接A1O，因为AA1＝AD＝2，∠A1AD＝60°，所以三角形AA1D为等边三角形，所以A1O⊥AD.因为平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，A1O⊂平面ADD1A1，所以A1O⊥平面ABCD.以O为坐标原点，过点O平行于AB的直线为x轴，AD所在直线为y轴，A1O所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1(0，0，)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，D1(0，2，)，所以＝(0，1，－)，＝(－1，0，0)，＝(－1，1，)，＝(1，0，0)，

5、设平面A1CD的法向量为m＝(x，y，z)，则则所以x＝0，令z＝1，则y＝，所以m＝(0，，1)为平面A1CD的一个法向量．设平面DCD1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则即令y1＝3，则z1＝－，所以n＝(0，3，－)为平面DCD1的一个法向量．所以cos〈m，n〉＝＝＝，所以平面A1CD与平面DCD1夹角的余弦值为.3．(本题满分12分)甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，统计人员统计了甲、乙两名工人100天中出现次品件

6、数的情况如表所示.甲每天生产的次品数/件01234产生次品天数/天4020201010乙每天生产的次品数/件0123产生次品天数/天30252520(1)如果甲每天生产的次品数记为x(单位：件)，日利润记为y(单位：元)，写出y与x的函数关系式；(2)(ⅰ)如果按这100天统计的数据，分别求甲、乙两名工人的平均日利润；(ⅱ)如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X是甲、乙两名工人1天中日利润不少于1950元的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．解：(1)因为甲每天生产的次品数为x，所

7、以损失30x元，则其生产的正品数为100－x，获利润20(100－x)元，因而y与x的函数关系式为y＝20(100－x)－30x，即y＝2000－50x，其中0≤x≤4，x∈N.(2)(ⅰ)在这100天中，甲的总利润为(2000－50×0)×40＋(2000－50×1)×20＋(2000－50×2)×20＋(2000－50×3)×10＋(2000－50×4)×10＝193500(元)，因而平均日利润为1935元；在这100天中，乙的总利润为(2000－50×0)×30＋(2000－50×1)×25

8、＋(2000－50×2)×25＋(2000－50×3)×20＝193250(元)，因而平均日利润为1932.5元．(ⅱ)由2000－50x≥1950，得x≤1，所以X是甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数，所以X的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过1的概率为＋＝，乙1天中生产的次品数不超过1的概率为＋＝，所以P(X＝0)＝×＝＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝，所以随机变量X的分布列为X012P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.选考题：共10分．请考生